算法训练 最大最小公倍数

问题描述

已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。

输入格式

输入一个正整数N。

输出格式

输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。

样例输入

9

样例输出

504

数据规模与约定

1 <= N <= 106。

分析如下：

定理1：大于1的两个相邻的自然数必定互质 。

定理2：两个数的最小公倍数在最大的情况就是当两个数互质的时候，他们的最小公倍数就是这两个数的乘积。

这时我们只需要找三个互质的数，让他们三个乘积最大即可。肯定是从n往下乘了，但这时候三个连续的数，有两种情况使其互质

偶 X 奇 X 偶

奇 X 偶 X 奇

这时候就考虑n的奇偶性了：

n为奇数 此时，n*(n-1)*(n-2)中，n，n-2为奇数，n-1为偶数，即肯定不存在公因数2，因为这三个连续的数变化范围不超过3，所以就算有一个数是3的倍数，也不会存在第二个数是3的倍数，即这三个数字都是互质的。如：9，8，7

n为偶数 此时，n*(n-1)*(n-2)中，有两个偶数，即存在公因数2，也就是说最小公倍数要除2了，就不是最大了的。所以不能存在 偶 X 奇 X 偶 这种情况，就让(n-2)变为(n-3)，大的数尽量不变嘛，这时候呢，又恢复到了 奇 X 偶 X 奇 的情况。

ps：

此时要考虑了，n和n-3之间，差了3，即如果n是3的倍数，n-3也一定是3的倍数，所以当n不是3的倍数的时候，n*(n-1)*(n-3)是ok的

当n是3的倍数的时候，(n-1)(n-2)(n-3)，又恢复了 奇 X 偶 X 奇 的情况了，OK！

代码如下：

package ALGO_2;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public void printResult(long n){
long result=0;
if(n<=2)//此时最多只能选择两个数，不符合题意
return;
if(n%2==1) {
result=n*(n-1)*(n-2);
}else{
if(n%3==0)//说明n和n-3有最大公约数3
result=(n-1)*(n-2)*(n-3);
else
result=n*(n-1)*(n-3);
}
System.out.println(result);
return;
}

public static void main(String[] args) {
Main test=new Main();
Scanner in=new Scanner(System.in);
long n=in.nextLong();
test.printResult(n);
}
}