《算法导论》学习笔记——如何证明有无穷多个素数

证明的定理

在自然数集合中，素数有无穷多个。

证明

假设我们已知这么几个素数p1,p2,p3……pnp1,p2,p3……pn，我们需要证明的是已知这些素数能推出第n+1n+1个素数，那么数学归纳法就可以证明有无穷多个素数了。

我们构造一个新数d=p1×p2×p3……×pn+1d=p1×p2×p3……×pn+1显然可以证明dd不能被上述素数中的任何一个整除。

现在我们进行分类讨论：

如果这是一个素数，那么已经证明了能通过nn个素数求出第n+1n+1个素数。下面一种情况有点复杂。

如果这是一个合数。我们先来回顾素数的定义：素数是只能被它自己的平凡约数（即1和它本身）整除的自然数。所以一个合数一定有非平凡约数。所以一定存在上述nn个素数以外的素约数。这样也证明了通过nn个素数证明存在第n+1n+1个素数。