poj3590 The shuffle Problem（置换+dp）

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题目大意：一个置换多次操作后就可以回到最初的状态，这个次数称为置换的循环节。求长度为n的序列的最大的循环节x，并且构造循环节为x的字典序最小的方案。

分析：

这道题是bzoj1025的变式

如果我们已知一个置换

我们通过找到ta的轮换就可以计算出ta的循环节：lcm(size轮换)lcm(size轮换)

我们要使长度为n的置换的循环节尽可能长

就需要产生一种分割方式，把序列分成若干端（若干轮换），使得所有部分长度的lcm最大

上述问题是可以用dp解决的

已知循环节以及分割方式，我们就可以构造解了

直接贪心的把分割长度从小到大放到原始的递增序列上，错一位即可

example：
a:  1 2 3 4 5
分割方式： 1 2|3 4 5
ans:  2 1 4 5 3

下面我们就讨论一下dp的过程：

一开始我想的比较简单：f[i]f[i]表示数ii的最大分割方案

f[i]=max(f[i],lcm(f[j],i−j))f[i]=max(f[i],lcm(f[j],i−j))

再开一个数组gg记录每个状态的转移点，最后就可以倒退得到最大分割方案了

但是为什么WA了呢?

这样dp虽然可以计算出正确的循环节长度

但是得到的分割方案有可能段数较少，长度较大，得到的解不是字典序最小

实际上，题目可以转化为：

给你一个整数n，求a1+a2+a3...+am=na1+a2+a3...+am=n， 并且a1,a2,...,ama1,a2,...,am的最小公倍数最大

我们要保证求得最小公倍数之后置换排序最小

考虑lcmlcm最简单的定义:

lcm(a,b)=pk11∗pk22∗pk33∗...∗pkmmlcm(a,b)=p1k1∗p2k2∗p3k3∗...∗pmkm

其中pipi是指数，ki=max(kai,kbi)ki=max(kai,kbi)

也就是说我们将lcm质因数分解了

pkiipiki都是互素的，所以我们可以把序列分割成长度为pkiipiki的轮换，同时保证∑pkii=n∑piki=n

设计状态：f[i][j]f[i][j]表示使用了前ii个素数，当前pkpk和为jj的lcm最大值

（100以内一共有25个素数；pkpk实际上就是一个轮换的长度，那么jj就是序列的长度了）

转移：f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][k]∗prime[i]j−k)f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][k]∗prime[i]j−k)

用另一个数组记录每一个状态的转移点

这样我们就可以把lcm分解成长度分别是为pk11，pk22，pk33，...，pkmmp1k1，p2k2，p3k3，...，pmkm的若干轮换

注意

这样就转化成了一个特殊的分组背包

质数pi,p2i,p3i,...,pnipi,pi2,pi3,...,pin当做同组的物品，

对于同组的物品只能选一个或者都不选，总和为nn的最大值

for 所有的组k
for v=V..0
for 所有的i属于组k
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

tip

在代码中，如果我们不选一个数：

f[i][j]=f[i-1][j];g[i][j]=0;

虽然我们可以在f[tot]
处的到最大循环节

但是有些素数是我们没有用上的，

如果g[i][j]=0g[i][j]=0，就说明这个数没有用

我们在构造解的时候，可能会发现：用的数的pkiipiki之和不到n，

这时我们就用长度为1的轮换补充即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=102;
int sshu[26]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,57,61,67,71,73,79,83,89,97};
int n,f[30]
,g[30]
,a
;

void solve()
{
memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0]=1;
memset(g,0,sizeof(g));
for (int i=1;i<=25;i++)
for (int j=n;j>=0;j--)       //倒序
{
f[i][j]=f[i-1][j];       //不用这个素数
int now=sshu[i];
while (j>=now)
{
if (f[i][j]<f[i-1][j-now]*now)
f[i][j]=f[i-1][j-now]*now,g[i][j]=now;   //now 这个轮换的长度
now*=sshu[i];
}
}

int ans=0,t=0;
for (int i=n;i>=0;i--)
if (f[25][i]>ans) ans=f[25][i],t=i;
printf("%d ",ans);
int cnt=0,x=25,one,tt=0;
while (t)
{
if (!g[x][t]) x--;
else a[++cnt]=g[x][t],t-=g[x][t],x--,tt+=a[cnt];
}
one=n-tt;    //长度为1的轮换

sort(a+1,a+1+cnt);
for (int i=1;i<=one;i++) printf("%d ",i);
int s=one+1;
for (int i=1;i<=cnt;i++)
{
for (int j=1;j<a[i];j++) printf("%d ",j+s);
printf("%d ",s);
s+=a[i];
}
printf("\n");
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d",&n);
solve();
}
return 0;
}