洛谷P2766：最长不下降子序列问题

问题描述

给定正整数序列x1,...,xn 。

（1）计算其最长不下降子序列的长度s。

（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。

（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。

«编程任务：

设计有效算法完成（1）（2）（3）提出的计算任务。

思路与想法

      看到这道题，我想到的只是推DP方程，只要保持n的平方就可以完成了（但是不行，最少n的三次方）。

      网络流中的最大流可以解决这个东西，只要保证从原点流到汇点的流量满足s长度的最长非下降就可以了。怎么保证呢？

解法

      我们把第一问的答案用n的平方（或者大佬可以用单调队列来维护这个max）。f[i]表示以i结尾的最长非下降序列长度是多少。(拆点，把 i 拆成 i 和 i’)

      1.当f[i]==1时，那么表示i不能作为一个序列的结尾，只能作为开头，所以从begin（源点）到i连一条流量为1的边。

      2.当f[i]==mmax时,表示i能作为一个最长非下降序列的结尾，所以从i’到end（汇点）连一条流量为1的边。

      3.当a[i]<a[j]  and(&&)   f[j]=f[i]+1  的时候，那么从i到j‘连一条流量为1的边。

      4.为了能使流量能连续流通，我们从i’到i连一条流量为1的边。

（注意，当mmax==1 时，要一定要特判，从i到i’连一条流量为1的边；因为不这样子的话，i到end就没有边可以通，一开始我就卡了两个点。。。）

第三个问，就干脆将begin到1点连一条INF的边，n’点到end连一条INF的边。
想看具体图片吗？。。
像下面这组样例

4

3 6 2 5


#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;

int n;
int a[510];
int f[510];
struct edge{int y,next,c;};
edge s[600010];
int begin,end;
int first[10010];
int len=1;
int q[10010];
int h[10010];
bool tf[10010];
int mmax=0;
int st,ed;

int mmin(int x,int y)
{
return x<y?x:y;
}

void ins(int x,int y,int c)
{
len++;
s[len].y=y;s[len].c=c;
s[len].next=first[x];first[x]=len;
len++;
s[len].y=x;s[len].c=0;
s[len].next=first[y];first[y]=len;
}

void build_edge(int x)
{
memset(first,0,sizeof(first));
len=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(f[i]==1)
if(i==1)
ins(begin,i,x);
else
ins(begin,i,1);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
if(a[i]<=a[j] && (f[j]==f[i]+1 || mmax==1))
ins(i,n+j,1);
for(int i=1;i<=n;i++) ins(i+n,i,1);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(f[i]==mmax)
if(i==n)
ins(i+n,end,x);
else
ins(i+n,end,1);
}

bool bfs()
{
st=1,ed=2;
memset(h,0,sizeof(h));
h[begin]=1;
q[st]=begin;
while(st!=ed)
{
int x=q[st];
for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next)
{
int y=s[i].y;
if(h[y]==0 && s[i].c>0)
{
h[y]=h[x]+1;
q[ed]=y;
ed++;
if(ed==n+n+n) ed=1;
}
}
st++;
if(st==n+n+n) st=1;
}
if(h[end]!=0) return true;
return false;
}

int dfs(int x,int t)
{
if(x==end) return t;
int tot=0;
for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next)
{
if(t==tot) return t;
int y=s[i].y;
if(h[y]==h[x]+1)
{
int get=dfs(y,mmin(t-tot,s[i].c));
tot+=get;s[i].c-=get;s[i^1].c+=get;
}
}
if(tot==0) h[x]=0;
return tot;
}

int max_flow()
{
int flow=0,now=0;
while(bfs())
{
now=dfs(begin,1e9);
while(now!=0)
{
flow+=now;
now=dfs(begin,1e9);
}
}
return flow;
}

int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[j]<=a[i] && f[j]+1>f[i]) f[i]=f[j]+1;
if(f[i]>mmax) mmax=f[i];
}
printf("%d\n",mmax);
begin=0;
end=2*n+1;
build_edge(1);
printf("%d\n",max_flow());
build_edge(1e9);
printf("%d\n",max_flow());
}