【BZOJ1005】【HNOI2008】明明的烦恼

【题目链接】

点击打开链接

【双倍经验链接】

【BZOJ1211】【HNOI2004】树的计数

【思路要点】

考虑树的Prufer序列。
树的Prufer是一个长度为\(N-2\)的序列，其中每一个元素为一个\(1\)到\(N\)的整数。
每一个这样的序列对应了一棵确定的\(N\)个节点的树，并且每一棵\(N\)个节点的树对应了一个这样的序列。换而言之，Prufer序列和树一一对应。
Prufer序列存在性质：一个节点\(i\)在树上的的度数等于其在Prufer序列中出现的次数\(+1\)。
那么问题就变成了简单的组合数学题，稍加分析即可轻松解决，在此不再赘述。
问题不要求取模，因此需要高精度运算。
直接实现除法的代价较高，可以采取记录各个质因数的个数来避免除法运算。
时间复杂度\(O(N^{2})\)

【代码】

/*Program till line 174*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXL	4005
#define MAXN	1005
template <typename T> void read(T &x) {
x = 0; int f = 1;
char c = getchar();
for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
if (x < 0) x = -x, putchar('-');
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
write(x);
puts("");
}
struct INT {int len, value[MAXL]; };
INT operator + (INT a, INT b) {
INT res;
res.len = max(a.len, b.len);
memset(res.value, 0, sizeof(res.value));
for (int i = 0; i <= res.len; i++)
res.value[i] = a.value[i] + b.value[i];
for (int i = 0; i <= res.len; i++) {
res.value[i + 1] += res.value[i] / 10;
res.value[i] %= 10;
}
if (res.value[res.len + 1]) res.len++;
return res;
}
INT operator - (INT a, INT b) {
INT res;
res.len = a.len;
memset(res.value, 0, sizeof(res.value));
for (int i = 0; i <= res.len; i++)
res.value[i] = a.value[i] - b.value[i];
for (int i = 0; i <= res.len; i++)
if (res.value[i] < 0) {
res.value[i] += 10;
res.value[i + 1]--;
}
while (res.len != 1 && res.value[res.len] == 0) res.len--;
return res;
}
INT operator * (INT a, INT b) {
INT res;
res.len = a.len + b.len;
for (int i = 0; i <= res.len; i++)
res.value[i] = 0;
for (int i = 1; i <= a.len; i++)
for (int j = 1; j <= b.len; j++)
res.value[i + j - 1] += a.value[i] * b.value[j];
for (int i = 0; i <= res.len; i++) {
res.value[i + 1] += res.value[i] / 10;
res.value[i] %= 10;
}
while (res.len != 1 && res.value[res.len] == 0) res.len--;
return res;
}
INT number(int x) {
INT res;
res.len = 0;
if (x == 0) res.len = 1, res.value[1] = 0;
memset(res.value, 0, sizeof(res.value));
while (x) {
res.value[++res.len] = x % 10;
x /= 10;
}
return res;
}
INT ten(int x) {
INT res;
res.len = x + 1;
res.value[res.len] = 1;
for (int i = 0; i < res.len; i++)
res.value[i] = 0;
return res;
}
bool operator >= (INT a, INT b) {
if (a.len > b.len) return true;
if (a.len < b.len) return false;
for (int i = a.len; i >= 1; i--) {
if (a.value[i] > b.value[i]) return true;
if (a.value[i] < b.value[i]) return false;
}
return true;
}
INT operator / (INT a, INT b) {
INT res, tmp;
res.len = a.len - b.len + 1;
for (int i = res.len; i >= 1; i--) {
tmp = ten(i - 1) * b;
while (a >= tmp) {
res.value[i]++;
a = a - tmp;
}
}
while (res.len != 1 && res.value[res.len] == 0) res.len--;
return res;
}
INT operator ^ (INT a, int b) {
if (b == 0) return number(1);
INT res = a ^ (b / 2);
if (b % 2 == 0) return res * res;
else return res * res * a;
}
void print(INT x) {
for (int i = x.len; i >= 1; i--)
printf("%d", x.value[i]);
printf("\n");
}
int tot, prime[MAXN], f[MAXN], a[MAXN], num[MAXN];
void add(int x) {
while (x != 1) {
a[num[f[x]]]++;
x /= f[x];
}
}
void dec(int x) {
while (x != 1) {
a[num[f[x]]]--;
x /= f[x];
}
}
int main() {
int n; read(n);
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (f[i] == 0) {
prime[++tot] = f[i] = i;
num[i] = tot;
}
for (int j = 1; j <= tot && prime[j] <= f[i]; j++) {
int tmp = i * prime[j];
if (tmp > n) break;
f[tmp] = prime[j];
}
}
for (int i = 1; i <= n - 2; i++)
add(i);
int cnt = 0, lft = n - 2;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x; read(x);
if (x == 0 || x <= -2) {
writeln(0);
return 0;
}
if (x == -1) cnt++;
else {
x--;
if (x > lft) {
writeln(0);
return 0;
}
lft -= x;
for (int i = 1; i <= x; i++)
dec(i);
}
}
for (int i = 1; i <= lft; i++)
dec(i);
static INT ans = number(1), tmp;
for (int i = 1; i <= tot; i++)
ans = ans * (number(prime[i]) ^ a[i]);
if (cnt == 0) tmp = number(1);
else tmp = number(cnt);
ans = ans * (tmp ^ lft);
print(ans);
return 0;
}
/*Original program, TLE with large constant but clearer*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXL    4005
#define MAXN    1005
template <typename T> void read(T &x) {
x = 0; int f = 1;
char c = getchar();
for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
if (x < 0) x = -x, putchar('-');
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
write(x);
puts("");
}
struct INT {int len, value[MAXL]; } a[MAXN];
INT operator + (INT a, INT b) {
INT res;
res.len = max(a.len, b.len);
memset(res.value, 0, sizeof(res.value));
for (int i = 0; i <= res.len; i++)
res.value[i] = a.value[i] + b.value[i];
for (int i = 0; i <= res.len; i++) {
res.value[i + 1] += res.value[i] / 10;
res.value[i] %= 10;
}
if (res.value[res.len + 1]) res.len++;
return res;
}
INT operator - (INT a, INT b) {
INT res;
res.len = a.len;
memset(res.value, 0, sizeof(res.value));
for (int i = 0; i <= res.len; i++)
res.value[i] = a.value[i] - b.value[i];
for (int i = 0; i <= res.len; i++)
if (res.value[i] < 0) {
res.value[i] += 10;
res.value[i + 1]--;
}
while (res.len != 1 && res.value[res.len] == 0) res.len--;
return res;
}
INT operator * (INT a, INT b) {
INT res;
res.len = a.len + b.len;
for (int i = 0; i <= res.len; i++)
res.value[i] = 0;
for (int i = 1; i <= a.len; i++)
for (int j = 1; j <= b.len; j++)
res.value[i + j - 1] += a.value[i] * b.value[j];
for (int i = 0; i <= res.len; i++) {
res.value[i + 1] += res.value[i] / 10;
res.value[i] %= 10;
}
while (res.len != 1 && res.value[res.len] == 0) res.len--;
return res;
}
INT ten(int x) {
INT res;
res.len = x + 1;
res.value[res.len] = 1;
for (int i = 0; i < res.len; i++)
res.value[i] = 0;
return res;
}
bool operator >= (INT a, INT b) {
if (a.len > b.len) return true;
if (a.len < b.len) return false;
for (int i = a.len; i >= 1; i--) {
if (a.value[i] > b.value[i]) return true;
if (a.value[i] < b.value[i]) return false;
}
return true;
}
INT operator / (INT a, INT b) {
INT res, tmp;
res.len = a.len - b.len + 1;
for (int i = res.len; i >= 1; i--) {
tmp = ten(i - 1) * b;
while (a >= tmp) {
res.value[i]++;
a = a - tmp;
}
}
while (res.len != 1 && res.value[res.len] == 0) res.len--;
return res;
}
INT number(int x) {
INT res;
res.len = 0;
if (x == 0) res.len = 1, res.value[1] = 0;
memset(res.value, 0, sizeof(res.value));
while (x) {
res.value[++res.len] = x % 10;
x /= 10;
}
return res;
}
void print(INT x) {
for (int i = x.len; i >= 1; i--)
printf("%d", x.value[i]);
printf("\n");
}
int main() {
int n; read(n);
a[0] = number(1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = a[i - 1] * number(i);
static INT tmp = number(1);
int cnt = 0, lft = n - 2;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x; read(x);
if (x == 0 || x <= -2) {
writeln(0);
return 0;
}
if (x == -1) cnt++;
else {
x--;
if (x > lft) {
writeln(0);
return 0;
}
lft -= x;
tmp = tmp * a[x];
}
}
tmp = tmp * a[lft];
static INT ans = a[n - 2] / tmp;
if (cnt == 0) tmp = number(1);
else tmp = number(cnt);
for (int i = 1; i <= lft; i++)
ans = ans * tmp;
print(ans);
return 0;
}