《算法导论》学习笔记——GCD定理的证明

GCD定理

GCD定理是欧几里得算法的灵魂。欧几里得算法就是我们以前说的“辗转相除法”。

GCD定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

证明

我们的证明就是要证明上面两者相互能整除。

设gcd(a,b)=dgcd(a,b)=d所以d|a且d|bd|a且d|b。

由带余除法可以得出：

a%b=a−qba%b=a−qb其中q为a/b向下取整。

所以a%ba%b是a和b的一个线性组合。

所以d|a%bd|a%b

又因为d|bd|b

所以d|gcd(b,a%b)d|gcd(b,a%b)

即gcd(a,b)|gcd(b,a%b)gcd(a,b)|gcd(b,a%b)

证明另一个结论和上述过程一模一样。