bzoj3456 城市规划（分治NTT）

bzoj3456 城市规划

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456

题意：

阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案。

换句话说, 你需要求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目。

由于这个数字可能非常大, 你只需要输出方案数mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可。

数据范围

n <= 130000

题解：

令gigi为ii个点的图的数量，则gi=2n(n−1)2gi=2n(n−1)2，令fifi为ii个点的简单无向连通图数目，有：

fi=gi−∑j=1i−1fj∗(i−1j−1)∗gi−jfi=gi−∑j=1i−1fj∗(i−1j−1)∗gi−j

对于减掉的那个式子：

∑j=1i−1fj∗(i−1j−1)∗gi−j=∑j=1i−1(i−1)!(j−1)!(i−j)!∗fj∗gi−j=(i−1)!∑j=1i−1fj(j−1)!∗gi−j(i−j)!∑j=1i−1fj∗(i−1j−1)∗gi−j=∑j=1i−1(i−1)!(j−1)!(i−j)!∗fj∗gi−j=(i−1)!∑j=1i−1fj(j−1)!∗gi−j(i−j)!

若令Fi=fi(i−1)!Fi=fi(i−1)!，Gi=gi−j(i−j)!Gi=gi−j(i−j)!

则fi=gi−(i−1)!∑j=1i−1Fj∗Gi−jfi=gi−(i−1)!∑j=1i−1Fj∗Gi−j，如果让未算出的Fn=F0=0Fn=F0=0，且G0=0G0=0，减掉的就完全转化为了标准卷积形式，可以使用NTT了：

fi=gi−(i−1)!∑j=0iFj∗Gi−jfi=gi−(i−1)!∑j=0iFj∗Gi−j

由于计算出fifi需要用到f0...fi−1f0...fi−1，所以用分治NTT即可。

说起来好像很简单的样子，然而调题调一天…

第一个错误：wi没有赋初值为1。

第二个错误：预处理g数组时因为指数是LL乘爆了。发现这个问题是因为

44824

这组数据过不去。

要注意的地方大概是分治时计算[lf,mid]的f对[mid+1,rg]的贡献时，要想清楚哪一位具体对应哪一位。因为lf需要加上(rg-lf)才等于rg，所以用于相乘的g数组是[1,rg-lf]。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1004535809;//479*2^21+1 g=3
const int N=600050;
int G=3;
int n,fac
,inv
,f
,a
,g
,b
,R
,iv
,w
,_w
;
int modpow(int A,LL B)
{
int ret=1; int base=A;
for(;B;B>>=1)
{
if(B&1) ret=(1LL*ret*base)%mod;
base=(1LL*base*base)%mod;
}
return ret;
}
void NTT(int *x,int flag,int len)
{
for(int i=0;i<len;i++) if(i<R[i]) swap(x[i],x[R[i]]);
for(int m=2;m<=len;m<<=1)
{
int l=m>>1; int wn,wi=1;
if(flag==1) wn=w[m]; else wn=_w[m];
for(int j=0;j<len;j+=m)
{
wi=1;
for(int i=0;i<l;i++)
{
int y=(1LL*wi*x[i+j+l])%mod;
x[i+j+l]=(x[i+j]-y+mod)%mod;
x[i+j]=(x[i+j]+y)%mod;
wi=(1LL*wi*wn)%mod;
}
}

}
if(flag==-1) for(int i=0;i<len;i++) x[i]=(1LL*x[i]*iv[len])%mod;
}
void solve(int lf,int rg)
{
if(lf==rg) {f[lf]=(g[lf]-(1LL*f[lf]*fac[lf-1])%mod+mod)%mod; return;}
int mid=(lf+rg)>>1;
solve(lf,mid);
int len=1,p=0; for(;len<2*(rg-lf+1);len<<=1,p++);
R[0]=0; for(int i=1;i<len;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=b[i]=0;
for(int i=lf;i<=mid;i++) a[i-lf+1]=(1LL*f[i]*inv[i-1])%mod;
for(int i=1;i<=rg-lf;i++) b[i]=(1LL*g[i]*inv[i])%mod;
NTT(a,1,len); NTT(b,1,len);
for(int i=0;i<len;i++) a[i]=(1LL*a[i]*b[i])%mod;
NTT(a,-1,len);
for(int i=mid+1;i<=rg;i++) f[i]=(f[i]+a[i-lf+1])%mod;
solve(mid+1,rg);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
inv[0]=fac[0]=inv[1]=fac[1]=1;
for(int i=2;i<=4*n;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=modpow(fac[i],mod-2);
g[0]=0; for(int i=1;i<=4*n;i++) g[i]=modpow(2,(1LL*i*(i-1)/2LL));
for(int i=1,p=0;i<=4*n;i<<=1,p++)
{w[i]=modpow(G,(mod-1)/i),_w[i]=modpow(w[i],mod-2),iv[i]=modpow(i,mod-2);}
solve(1,n);
printf("%d\n",f
);
return 0;
}