[学习笔记]省选（算法？数据结构？）·线性基

一、开头

神犇MX：怎么样？xyz32768，你学不会后缀自动机，真是菜啊！

xyz32768：是啊，我本来就很菜啊！

神犇MX：你不服的话，再考你一道题：给定一个nn个数的数集，求一个子集，使这个子集的xorxor和最大？只需要输出这个xorxor和。n≤105n≤105并且每个数不大于260260。

xyz32768：爆搜子集，O(2n)O(2n)，我好像只会这样了。

神犇MX：看来你还是太菜，连线性基都不会，怎么可能会后缀自动机呢？

xyz32768：啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊……（省略1099999910999999个“啊”）

二、介绍

一个nn个数的正整数集合SS，这个集合的线性基是一个mm个正整数的集合：

A={a1,a2,a3,...,am}A={a1,a2,a3,...,am}

线性基有两点性质：

①：如果存在S′⊂SS′⊂S且S′S′内元素的xorxor和为tt，那么就一定存在A′⊂AA′⊂A且A′A′内的元素的xorxor和为tt，反过来也一样。简单的说，通过AA集合内的元素xorxor出的值域与通过SS集合内的元素xorxor出的值域相同。

②：线性基还有一个重要的性质：对于任何一个ii，要么aiai不存在，要么aiai最高位的11在第ii位上。

三、构造（插入一个新数）

集合SS为空时，线性基即集合AA的每一个元素（即a1,a2,...a1,a2,...）都不存在。

向线性基中插入新数pp的方法：

从高到低扫描pp的每一个二进制位，扫描到pp的第ii位为11时，分两种情况：

如果aiai不存在，那么令ai=pai=p并且结束扫描。

否则令p=p xor aip=p xor ai并继续扫描。

简单解释：假设插入新数pp之前的线性基为A′A′，设A′A′满足线性基的两个性质，那么在aiai不存在并且pp最高位的11在第ii位的情况下，令ai=pai=p，得到的线性基仍然满足性质。

而在aiai存在的情况下令p=p xor aip=p xor ai是为了使pp的第ii位为00，以此维护性质②。这时候pp异或上aiai之后等于待插入的新数，而两个相等的数的异或值总是00，这时候仍然满足线性基的性质①。

代码（代码中的orzorz表示线性基，orzi=−1orzi=−1就表示orziorzi不存在）：

void ins(ll p) {
int i; for (i = m; i; i--) {
if (!((p >> i - 1) & 1)) continue;
if (orz[i] == -1) return (void) (orz[i] = p);
else p ^= orz[i];
}
}

合并两个线性基，就是把一个线性基中的元素暴力插入到另一个线性基里面。

代码：

cyx mer(cyx a, cyx b) {
int i; for (i = m; i; i--)
a.ins(b.orz[i]);
return a;
}

四、查询

1、最大异或和

贪心。从高往低扫aa，对于一个aiai，如果aiai存在，并且异或上aiai后会使结果更大，就异或上aiai。通过性质②可以得出正确性。

代码：

ll max_xor() {
int i; ll ans = 0; for (i = m; i; i--)
if ((ans ^ orz[i]) > ans) ans ^= orz[i];
return ans;
}

2、一个数pp能否被异或出

贪心，同样是利用性质②。首先记下res=0res=0。从高往低扫aa。

对于一个aiai，如果aiai存在，并且resres的第ii位与pp的第ii位不等，则使res=res xor aires=res xor ai。

如果最后res=pres=p，那么pp能被异或出。当然需要特判00：

如果SS中有00，或者在构建线性基的过程中，存在一个待插入的数kk使得插入之前kk能被异或出，那么存在一个非空子集的异或和为00。

代码（不加特判00）：

bool _xor(ll p) {
int i; ll res = 0;
for (i = m; i; i--) {
if (orz[i] == -1) continue;
if (((p >> i - 1) & 1) != ((res >> i - 1) & 1))
res ^= orz[i];
}
return res == p;
}

五、题目

（待补充）