bzoj4916 神犇和蒟蒻

题目

首先，由μ的性质知道，第一问的答案一定为1。

考虑第二问。

φ(i2)=iφ(i)

令Φ(i)=∑ni=1iφ(i)

则发现

∑ni=1iΦ([ni])=∑ni=1i∑[ni]j=1jφ(j)

∑ni=1i∑[ni]j=1jφ(j)=∑ni=1∑i|jijiφ(ji)=∑ni=1∑i|jjφ(ji)

交换一下求和顺序。

∑ni=1∑i|jjφ(ji)=∑nj=1j∑i|jφ(ji)=∑nj=1j2

那么这样就可以杜教筛了。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 1600000
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7,inv6=166666668,inv2=500000004;
int n;
int prime[M+5],notp[M+5],cnt;
ll phi[M+5];
map <int,ll> mp;
inline void init()
{
notp[1]=true,phi[1]=1;
for(int i=1;i<=M;i++)
{
if(!notp[i])prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=M;j++)
{
notp[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
for(int i=1;i<=M;i++)phi[i]=(ll)i*phi[i]%mod;
for(int i=1;i<=M;i++)phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mod;
}
inline ll ksm(ll a,ll b)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1)ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
inline ll s2(ll x)
{
return x*(x+1ll)%mod*(2ll*x+1ll)%mod*inv6%mod;
}
inline ll s1(ll x)
{
return x*(x+1ll)%mod*inv2%mod;
}
inline ll get(ll x)
{
if(x<=M)return phi[x];
if(mp[x])return mp[x];
ll tmp=s2(x);
int lst;
for(int i=2;i<=x;i=lst+1)
{
lst=x/(x/i);
tmp=(tmp-get(x/i)*(ll)(s1(lst)-s1(i-1)+mod)%mod+mod)%mod;
if(lst==x)break;
}
mp[x]=tmp;
return tmp;
}
int main()
{
freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d",&n);
init();
printf("1\n%lld",get(n));
return 0;
}