数论素数筛法以及用欧拉筛求欧拉函数

http://blog.csdn.net/nk_test/article/details/46242401来自一位大神博客

素数筛

最经典的是最经典的埃拉特斯特尼筛法。时间复杂度为O(n
loglog n)

int ans[MAXN];
void Prime(int n)
{
int cnt=0;
memset(prime,1,sizeof(prime));
prime[0]=prime[1]=0;
for(int i=2;i<n;i++)
{
if(vis[i])
{
ans[cnt++]=i;//保存素数
for(int j==i*i;j<n;j+=i) // i*i开始进行了稍微的优化
prime[j]=0; //不是素数
}
}
return ;
}

备注：从i*i而不从i*2 开始 是因为i*3,i*2早被 2 3筛过了

最好的筛法——欧拉筛线性O(n) 因为不会重复筛

const int MAXN=3000001;
int prime[MAXN];//保存素数
bool vis[MAXN];//初始化
int prime(int n)
{
int cnt=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<n;i++)
{
if(!vis[i])
prime[cnt++]=i;
for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
//min_prime[i*prime[j]] = prime[j];  求每个数的最小质因子
if(i%prime[j]==0)//关键
break;
}
}
return cnt;//返回小于n的素数的个数
}

理解：任何合数都可以表示成 一系列素数的积

然后利用每个合数必有一个最小质因子，每个合数仅被它的最小质因子筛去正好一次，所以是线性的

在代码上体现为if(i%prime[j]==0) break;

prime数组中的素数是单调递增的，当i 能整除prime[j]，那么i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j] 乘以某个数筛掉

因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。

如果还不是很理解，可以手动模拟一下。

 

欧拉函数:在数论中 ，对于正整数n ，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目

 现在还理解不了这段代码!!!!FUCK

using namespace std;
const int MAXN=3000001;
int prime[MAXN];//保存素数
bool vis[MAXN];//初始化
int phi[MAXN];//欧拉函数
void Prime(int n)
{
int cnt=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<n;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[cnt++]=i;
phi[i]=i-1;// if p is prime,then phi[i]=i-1
}
for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
{
__int64 k=i*prime[j];
vis[k]=1;
if(i%prime[j]==0)//关键
{
phi[k]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else
phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);

}
}
}