背包问题（01）

一，01背包

题目概述：why（魏泓宇）用你们的程序知道了在他在旅行时能拿的最大价值（完全背包），但他又发现了一个和严重的问题，那就是物品数不够了，每种只剩下一个了，所以他又来找你帮忙。（有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是a[i][0]，价值是a[i][1]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大）
输入：N   V

a[1][0]    a[1][1]   //1号物品的体积和价值

a[2][0]   a[2][1]    //2号物品的体积和价值

.......

a
[0]   a
[1]    //N号物品的体积和价值

输出：why最多能带上的价值

解析：这道题我们要倒的推上去，想要算出f[i][v](i为第i件物品，v为体积为v时，f[i][v]代表着当有前i件物品最大体积为v时的最大价值)，我们就要知道f[i-1][v]和f[i-1][v-a[i][0]]，我们可以要第i件物品,那么f[i][v]=f[i-1][v-a[i][0]]+a[i][1]，如果不要它，那么f[i][v]=f[i-1][v]。我们只需要比较一下他们的大小，然后选大的即可：f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-a[i][0]]+a[i][1]);注明：“max”是事先定义好的函数。

这样我们只需枚举i，再枚举v就行了，再进行比较就可以了。

但你仔细观察既可以发现，其实它的空间是可以优化的，因为我们如果把v从大到小枚举就只需要一维了，我们需要的答案只是最后一行的最后一个数，上面的并不需要，而且如果把v倒地枚举，f[i][v]所需要的数都是那时还没有被跟新的，可以直接使用，所以我们的程序可以转成更加简单一些。

主要代码：

for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int v=n;v>=0;v--)
{
if(v>=a[i][0])
f[v]=max(f[v],f[v-a[i][0]]+a[i][1]);
}
}

很简短，是吧