【JZOJ3633】【汕头市选2014】数数(count) （栈）

Problem

　　N行M列的矩形上有K个宝藏。统计包含至少1个宝藏的子矩形数量。

Hint

对于20% 的数据，N，M <= 50；

对于50% 的数据，N，M <= 1000；

对于80% 的数据，N <=1000;M <= 10^9；

对于100% 的数据，1 <= N，M <= 10^9; 1 <= K <= 1000; 1 <= Xi <= N，1 <= Yi <= M。

Solution

20points

　　不用说了吧，无脑暴力——滥用时间，枚举矩阵左上角和右下角。

　　时间复杂度：O(n2m2)O(n2m2)。

50points

　　题目要求我们求至少包含1个宝藏的子矩阵数量，我们要有逆向思维，可以先求出不含任何宝藏的子矩阵数量，然后用总方案数减去它。

　　至于不含任何宝藏的子矩阵数量，我们可以先把有宝藏的地方打个标记，然后设up[i][j]表示点（i，j）上方的第一个有宝藏的格子（包括它自己）的行。那么我们可以在O(nm)O(nm)的时间内预处理出它来。

　　我们先枚举一个i，表示子矩阵的下边界；然后再枚举一个j，表示子矩阵的右边界。然后我们在扫j的时候，顺便维护一个单调递减的单调栈stack，贮存我们经过的点的up。比如说，有一个3*3的矩阵如下图所示：



　　若红色区域为宝藏，黄色区域为我们当前做到的点，则此时stack={2,1}。如果再往后一格，stack中的所有元素就会被先后踢出栈，另加上一个2。

　　我们可以维护栈中每一个元素所占的宽度，那么可以很方便地更新答案。

　　时间复杂度：O(nm)O(nm)。

100points

　　50points的做法硬伤就在于难以解决图太大的局
4000
面。但我们注意到此题有一个很大的图，但图中却有相对很少的、有宝藏的点。

　　来一波套路：离散化。

　　但是我们注意到，离散化以后，原本间隔很多行的两点可能会紧挨着，如下图所示：



　　这样一来，我们便没有计算到x，y之间的空隙对答案的贡献。于是，考虑将两点间的空行留一行，也就是说，上图应该会变成这样：



　　类似的，大矩阵的边界到某个点之间的空行，也留出一行。

　　考虑记录离散化后每一个行、每一列表示的原图的行数、列数。譬如上图中x到y的空行则记录为3，空列也记录为3；而x所占的那一行，记录为1，列也肯定记录为1（因为一个宝藏肯定只能待在一个1*1的矩阵里）。

　　然后仿照50points，枚举i、j，维护单调栈，但是要注意此时的行、列可能都不单单只是一行、一列。

　　时间复杂度：O(k2)O(k2)。