MATLAB基础三

MATLAB基础三

方阵的行列式

把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为所对应的行列式的值。

det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。

e.g.验证det(A-1)=1/det(A)。

format rat

A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]

det(inv(A))

1/det(A)

矩阵的秩

矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。

rank(A)：求矩阵A的秩。

e.g.求3~20阶魔方阵的秩。

for n=3:20

r(n)=rank(magic(n));

end

bar(r)

grid on

axis([2,21,0,20])

[3:20;r(3:20)]

矩阵的迹

矩阵的迹等于对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。

trace(A)：求矩阵A的迹。

>>a=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]

a =

1 3 2

-3 2 1

4 1 2

>> b=trace(a)

b =

5

>> t=sum(diag(a))

t =

5

向量和矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

（1）向量的3种常用范数



求向量范数的函数为：

norm(V,1)：计算向量V的1–范数。

norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2–范数。

norm(V,inf)：计算向量V的∞–范数。

（2）矩阵的范数



>>x=[2,0,1;-1,1,0;-3,3,0]

x =

2 0 1

-1 1 0

-3 3 0

>> n=norm(x)

n =

4.7234

>> n=norm(x,1)

n =

6

矩阵的条件数

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。

条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。

计算矩阵A的条件数的函数为：

cond(A,1)：计算A的1–范数下的条件数。

cond(A)或cond(A,2)：计算A的2–范数下的条件数。

cond(A,inf)：计算A的∞–范数下的条件数。

e.g.求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数。

for n=2:10

c(n)=cond(hilb(n));

end

format long

c’

矩阵的特征值和特征向量

计算矩阵的特征值和特征向量的函数是eig，常用的调用格式有两种：

E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。

[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。

>>R=[-1,2,0;2,-4,1;1,1,-6];

>>S=[1,2;2,3];

>>A=>>[R,zeros(3,2);zeros(2,3),S];

>>[X1,d1]=eig(R)

>>[X2,d2]=eig(S)

>>[X3,d3]=eig(A)

X1 =

0.8553 0.4517 0.1899

0.4703 -0.8395 -0.5111

0.2173 -0.3021 0.8383

d1 =

0.0996 0 0

0 -4.7165 0

0 0 -6.3832

X2 =

-0.8507 0.5257

0.5257 0.8507

d2 =

-0.2361 0

0 4.2361

X3 =

0.8553 0.4517 0.1899 0 0

0.4703 -0.8395 -0.5111 0 0

0.2173 -0.3021 0.8383 0 0

0 0 0 -0.8507 -0.5257

0 0 0 0.5257 -0.8507

d3 =

0.0996 0 0 0 0

0 -4.7165 0 0 0

0 0 -6.3832 0 0

0 0 0 -0.2361 0

0 0 0 0 4.2361

>>x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8];

>>A=[1,0.5;0,1];

>>y=A*x;

>>subplot(2,2,1);

>>fill(x(1,:),x(2,:),’r’);

>>subplot(2,2,2);

>>fill(y(1,:),y(2,:),’r’);



定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。

在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。

参考：MOOC《科学计算与MATLAB语言》