组合数学-容斥原理

hdu GCD

题意：求gcd(x,y)==k个数，其中x属于[1,b],y属于[1,d],其中x=5,y=7与x=7,y=5，是一样的。

思路：求x在[1，b],y在[1,d],gcd(x,y)=k的个数

           就是求x在[1,b/k],y在[1,d/k],gcd(x,y)==1的个数

不妨设b<d;i在[1,b/k]时，与其互素的数的个数就是欧拉函数，所以在[1,b/k]为phi[i]+phi[i1]+···

当i在[b/k+1,d/k]内求区间[1,b/k]内与其互素的数的个数，先求出该区间内与他不互素的数的个数即i的素因子的组合，利用容斥原理求解找出[1,b/k]中可以被i的每个质因子整除的数的个数求和，减去可以被其任意两个质因子整除的数的个数，加上可以被其任意三个质因子整除的数的个数。。。。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1000005;
int prim[maxn+5];
ll f[maxn+5];
ll phi[maxn+5];
void init()
{
for(int i=1;i<maxn;i++)
phi[i]=i;
for(int i=2;i<maxn;i+=2)
phi[i]>>=1;
for(int i=3;i<maxn;i+=2)
{
if(phi[i]==i)
{
for(int j=i;j<maxn;j+=i)
phi[j]=phi[j]-phi[j]/i;
}
}
//递推法求欧拉函数
f[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++)
f[i]=f[i-1]+phi[i];
}
ll solve(int n,int r)
{
int num=0;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
{
if(n%i==0)
{
prim[num++]=i;
while(n%i==0)
n/=i;
}
}
if(n>1)
prim[num++]=n;
//对n分解素因子,num是n的素因子的个数
ll sum=0;
for(int msk=1;msk<(1<<num);msk++)
{//(1<<sum)是一个长为num的二进制，msk通过从1到(1<<num)循环可以枚举这个二进制的每一种排列情况
ll mult=1;
int bits=0;
for(int i=0;i<num;i++)
{
if((1<<i)&msk)//表示的是msk二进制的第i位为1
{
bits++;
mult*=prim[i];
}
}
ll cur=r/mult;
if(bits&1)
sum+=cur;
else
sum-=cur;
}
return r-sum;
}
int main()
{
int t,a,b,c,d,i,k,ca;
ll sum;
scanf("%d",&t);
ca=0;
init();
while(t--)
{
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
if(k==0)
{
printf("Case %d: %d\n",++ca,0);
continue;
}
if(b>d)
swap(b,d);
b/=k;
d/=k;
sum=0;
sum+=f[b];
for(i=b+1;i<=d;i++)
sum+=solve(i,b);
printf("Case %d: %lld\n",++ca,sum);
}
}