组合数学-容斥原理-求指定区间内与n互素的数的个数

求指定区间内与n互素的数的个数

给出整数n和r。求区间[1,r]中与n互素的数的个数。

去解决它的逆问题，求不与n互素的数的个数。

考虑n的所有素因子pi(i=1···k)

在[1,r]中有多少数能被pi整除呢？它就是

  


然而，如果我们单纯将所有结果，会得到错误答案。有些数可能被统计了多次(被好几素因子整除，如6，在计算2时，3时就重复了)

所以我们要用容斥原理来解决。我们可以用2^k的算法求出所有的pi的组合，然后计算每种组合的pi乘积，通过容斥原理来对结果进行加减处理。

关于此问题的最终实现

int prim[maxn];
int solve(int n,int r)
{
int num=0;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
{
if(n%i==0)
{
prim[num++]=i;
while(n%i==0)
n/=i;
}
}
if(n>1)
prim[num++]=n;
//对n分解素因子,num是n的素因子的个数
int sum=0;
for(int msk=1;msk<(1<<num);i++)
{//(1<<sum)是一个长为num的二进制，msk通过从1到(1<<num)循环可以枚举这个二进制的每一种排列情况
//msk<(1<<num)是把000··的这种排列去掉了，因为得选素因子

//二进制排列中1表示选n该位置的的素因子，0表示不选

int mult=1;
bits=0;
for(int i=0;i<num;i++)
{
if((1<<i)&msk)//表示的是msk二进制的第i位数字
{
bits++;
mult*p[i];
}
}
int cur=r/mult;
if(bits&1)
sum+=cur;
else
sum-=cur;
}
return r-sum;
}

比如n的素因子的个数num=6,msk=000001,表示只选择了n的p[0]这个素因子

msk=011001,表示选择了n的p[0],p[3],p[4]，这三个素因子。

容斥定理可以用位运算和dfs来实现