2018年1月30日训练日记

通过看资料简单的知道了：求最大流等价于求最小割也等价于求最大权闭合图。

至于费用流：费用流问题即在以上的基础上添加了费用的概念，百度百科的解释是在一个网络中每段路径都有“容量”和“费用”两个限制的条件下，此类问题的研究试图寻找出：流量从A到B，如何选择路径、分配经过路径的流量，可以在流量最大的前提下，达到所用的费用最小的要求。我们知道最大流的方案是不唯一的，又知道每条边上的单位费用，在此条件下让费用最小或者最大。最大费用只需建图时费用取反，跑最小费用流，结果取反即可。

好题：hdu 3667 Transportation拆边费用流（好题）

然而，网络流最主要的还是要学会建模。一定要善于画图。注意割点转化成割边问题。

判定网络流模型是否正确的两个原则：

1、可行性原则：原题中的每一种可行方案，在建立的网络流模型中都对应着一个“能求出的”流（一般是满足一定的条件的流，比如某些边必须满流等），注意这里的对应必须是“一一对应”，就是，既不能有可行方案丢失，也不能出现不可行方案；

2、最优性原则：原题中的最优方案（准确来说是最优方案的结果），在建立的网络流模型中都对应着一个“能求出的”量（最大流量或者满足最大流量的前提下的最小费用），也就是，最优结果必须是可以通过这个模型求出的。

一个网络流模型正确，当且仅当其符合以上两条原则。

无源汇上下界的最大流：建立超级源点ss和超级汇点tt，流量上下界变为[0,r-l]，du[i]记录每个点流入的流量的流出的流量差总和，大于0连源点到该点流量d[i]的边，小于0连该点到汇点流量-d[i]的边，求最大流，最大流等于所有du[i]>0的和即为有解。输出每条边流量的话别忘了加下界。

有源汇上下界的最大流：建立源点s和汇点t，根据题意连边，流量上下界变为[0,r-l]，du[i]记录每个点流入的流量的流出的流量差总和。连接t到s容量无穷的边，建立超级源点ss和超级汇点tt，大于0连ss到该点流量d[i]的边，小于0连该点到tt流量-d[i]的边，求最大流，最大流等于所有du[i]>0的和即为有解。若有解，直接求s到t的最大流，即为最终答案。输出每条边流量的话别忘了加下界。

有源汇有上下界的最小流：（来自某位大佬的博客）

1、du[i]表示i节点的入流之和与出流之和的差。

2、增设超级源点st和超级汇点sd，连（st，du[i]（为正）），（-du[i]（为负），sd）。 //增设超级源点和超级汇点，因为网络中规定不能有弧指向st，也不能有流量流出sd。

3、做一次maxflow（）。

4、汇点（Sd）和源点（St）连一条容量为oo的边。

5、再做一次maxflow（）。

6、当且仅当所有附加弧满载时有可行流，最后答案为flow[（Sd->St）^1]，St到Sd最大流就是Sd到St最小流。

关于网络流求最大流的模板可谓各式各样，各种优化，但是实际上除了自己写的朴素Dinic算法（1684ms）之外只找到了一个可以用的比较快的模板（140ms），其他模板不是tle就是样例过不了要不就编译不通过，但是主要思路还是Dinic。虽然看了不少博客以及比较多的题目（最大流and最小割），但是依然不会建模，而且一般题目的输入都比较迷。。。明天继续看吧，希望能学透它。。。

加油。