数学系课程：[组合数学] Polya定理：置换群、Burnside引理、母函数形式的Polya定理

Polya计数定理

组合数学是大三的课程，相关知识点很多还没有学到，但是它似乎很有用，寒假自己先看一看，有错误欢迎指正。

1.群的定义：

给定一个集合G={a,b,c，……}和集合G上的二元运算 •,满足如下条件：

（i)封闭性 (ii)结合律 (iii)存在单位元 (iv)存在逆元

则称几何G在运算 •之下是一个群，或称G是一个群.

2.置换群：

置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示.

置换：
到自身的1-1变换:
->
， p: i -> ai (ai != aj, i != j)

于是，a1,a2,a3,…an是
的一个全排列.称此置换为n阶置换，它可如下表示

p=(12...n<
24000
/span>a1a2...an)p=(12...na1a2...an)

3.置换群的乘法运算

看一个例子，设：

p1=(12343124),p2=(12344321)p1=(12343124),p2=(12344321)

定义p2p1=(12344321)⋅(12343124)=(31242431)⋅(12343124)=(12342431)p2p1=(12344321)⋅(12343124)=(31242431)⋅(12343124)=(12342431)

要注意，置换群的运算不满足交换律，即p1p2≠p2p1p1p2≠p2p1

可以证明，
上所有置换按上述乘法构成一个群，其中，该群的逆元为：

p−1=(12...na1a2...an)−1=(a1a2...an12...n)p−1=(12...na1a2...an)−1=(a1a2...an12...n)

因为，我们称以上群为置换群，记为Sn，称为n个文字的置换群.

**Thm: 任一n阶有限群同构于一个n个文字的置换群

4.循环、奇循环与偶循环

下面介绍一种置换的表示方法：(a1a2...am)=(a1a2...am−1ama2a3...ama1)(a1a2...am)=(a1a2...am−1ama2a3...ama1) 称为置换的循环表示或称为一m阶循环（轮换），例如：(1234531254)=(132)(45)(1234531254)=(132)(45)

(1234543152)=(14523)(1234543152)=(14523)

(1234552314)=(154)(2)(3)(1234552314)=(154)(2)(3)

**Thm: 若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相交的循环相乘可以交换.例如：(132)(45)=(45)(132).

**Thm: 任一置换可表成若干不相交循环的乘积.（证明：从1开始寻找一个合理的置换，换好1再寻找2，直到最后一个，推广：除了各个循环的顺序外，任一置换都有唯一的循环表示.）

定义：二阶循环叫做对换

定理：任一循环都可以表示为对换的积.（但注意其表示并不唯一）。

**Thm： 任一置换表示成对换的个数的奇偶性是唯一的。

定义：奇置换——分解成奇数个数对换之积，偶置换——分解成偶数个数对换之积.对于循环置换，循环长度减1的奇偶性就是置换奇偶性。

定理：Sn中所有偶置换构成一阶为（n!)/2的子群.称为交错群，记做An.

5.Burnside引理

（1）共轭类

先给出S3，A3, S4, A4作为例子：

S3={(1)(2)(3),(23),(13),(12),(123),(132)}S3={(1)(2)(3),(23),(13),(12),(123),(132)}

A3={(1)(2)(3),(123),(132)}A3={(1)(2)(3),(123),(132)}

S4={(1),(2),(3),(4),(34),(24),(23),(14),(13),(12),(123),(132)(124),(134),(142),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}S4={(1),(2),(3),(4),(34),(24),(23),(14),(13),(12),(123),(132)(124),(134),(142),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

A4={(1),(2),(3),(4),(123),(132)(124),(134),(142),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}A4={(1),(2),(3),(4),(123),(132)(124),(134),(142),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

一般可把Sn中任意一个置换p分解成t项若干互不相交的循环乘积：

p=(a1a2...ak1)(b1b2...bk2)...(h1h2...hkt)p=(a1a2...ak1)(b1b2...bk2)...(h1h2...hkt)⏟

其中k1+k2+…+kt = n,设其中k阶循环出现的次数为Ck，k = 1，2，… ,n.

k阶循环出现Ck次，用(k)ck(k)ck表示。

Sn中的置换可按分解成格式（pattern）

(1)c1(2)c2...(n)cn⋅⋅⋅⋅⋅⋅(∗)(1)c1(2)c2...(n)cn⋅⋅⋅⋅⋅⋅(∗)

的不同而分类。而Sn中p的循环格式（*）满足∑k=1nkCk=n∑k=1nkCk=n

Sn中有相同格式的置换全体构成一个共轭类.

**Thm：Sn中属于(*)共轭类的元素的个数为n!c1!c2!...cn!1c12c2...ncnn!c1!c2!...cn!1c12c2...ncn

例：S4中(2)^2共轭类有4!/(2!2^2)=3个置换，即(12)(34),(13)(24),(14)(23)

（2）k不动置换类

设G是
上的一个置换群，G<=Sn.k属于
，G中使k保持不变的置换全体，称为k不动置换类，记做Zk.

**Thm： 置换群G的k不动置换类Zk是G的一个子群.

（3）等价类

k在G的作用下的“轨迹”形成一个封闭的类.

对于k，l，若存在G中的一个置换把k变成l，则称它们属于同一个等价类.

因此1到n的正整数可以按照群G的置换分成若干个等价类.数k所属的等价类记为Ek.

（4）Burnside引理

Thm：设G是N = {1，2，…，n}上的置换群，G在N上可引出不同的等价类，其不同的等价类的个数为：l=1|G|[c1(a1)+...c1(ai)+...c1(ag)]l=1|G|[c1(a1)+...c1(ai)+...c1(ag)]

其中N是由组合方案的序号组成的集合，{1，2，…，n}是组合方案的序号，并不是真正的自然数，C1(ai)表示置换ai作用后不变的方案个数，也就是置换中1阶循环的个数.

（未完待续…)