二次曲面标准方程和分类记忆方法（更新）

二次曲面标准方程和分类记忆方法

一类曲面-球面：圆球面，椭球面

1、球面



球面方程最简单。

描述：中心在(x0,y0,z0)，半径是r的所有点(x, y, z)的集合

令x0=0；y0=0；z0=0；得到中心在坐标原点的球面


 

球面参数方程表示：

x=rsinθcosφ.

y=rsinθsinφ.

z=rcosθ.(0≤θ≤π, 0≤φ<2π)

2、中心自坐标原点的椭球面：





所表示的曲面称为椭球面，或称椭圆面，从方程可知


 
即
 

 
.

考察椭球面与三个坐标面的截痕


 
,
 

 
,
 

 
.它们都是椭圆。
再用平行于xOy坐标面的平面z=h（0<|h|<c)去截面得到截痕的方程为


 
或
 


这是一个位于平面z=h上的椭圆，它的中心在z轴上，两个半轴分别为

 

 
和
 

 
。当|h|逐渐增大时，椭圆由大变小，当|h|=c时，椭圆缩为点（0，0，±c）。
用平行于yOz面或xOz面的平面去截椭球面，可以得到类似的结果。
当a，b，c中有任意2个相等时，为旋转椭球面。
旋转椭球面标准方程（不妨a=b时）为


可以看作由椭圆
 

 
绕z轴旋转而成的。
当a=b=c时，即三个半轴都相等时，为球面:
 

 
。

椭球面参数方程

x=asinθcosφ
y=bsinθsinφ
z=ccosθ (0≤θ≤π, 0≤φ<2π)
从中消去 θ, φ可得椭球面的标准方程
二类曲面-锥面：圆锥面，椭圆锥面

3、圆锥面



记忆要点：无常数项，无一次项，都是二次项，直线沿着固定坐标轴选转得到的曲面。



.
4、椭圆锥面


 或写成如下形式





三类曲面-抛物面：椭圆抛物面，双曲抛物面

5、椭圆抛物面



记忆要点：无常数项，一个一次项，两个二次项都是正系数





6、双曲抛物面-马鞍面



记忆要点：无常数项，一个一次项，两个二次项，其中一个二次项系数为负值





四类曲面-双曲面：单叶双曲面，双叶双曲面

由双曲线旋转得到双曲面。





双曲线的实轴包含了双曲线的两个焦点，而虚轴则是两个焦点的中分线。
绕着实轴，旋转此双曲线，可以得到旋转双叶双曲面-两片叶子。
绕着虚轴，旋转此双曲线，可以得到旋转单叶双曲面-单片叶子。

7、单叶双曲面方程

在几何学中，单叶双曲面（有时称为旋转双曲面或圆形双曲面）是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面。 双曲面是可以通过使用方向定标使其变形而从旋转抛物面获得的表面。

双曲面是二次曲面，其可以被定义为三个变量中的二维多项式的点的集合的表面。 在二次曲面中，双曲面的特征在于不仅具有对称中心，而且让平面和其相交还能形成锥体、柱体等。 双曲面还具有三对垂直对称轴和三对垂直对称平面。

单叶双曲面个方程：



记忆要点：有常数项，其余都是二次项，方程式中其中有一项的系数是负值-单叶



应用实例-降温塔：



8、双叶双曲面方程

 双叶双曲面个方程：

 

 
 记忆要点：有常数项，其余都是二次项，方程式中其中有双项的系数是负值-双叶