OJ演练--整数划分（经典DP问题）

对整数划分，关键点：

1、找出动态规划的状态转移方程

2、确定各种情况下的初始条件

类型一：将n划分成若干正整数之和

Description

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk,其中n1>=n2>=…>=nk>=1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。例如，正整数6有如下11种不同的划分：6: 6; 5+1; 4+2; 4+1+1; 3+3; 3+2+1; 3+1+1+1; 2+2+2; 2+2+1+1; 2+1+1+1+1; 1+1+1+1+1+1.

Input

多组测试数据，输入到文件结束，每组数据包含一个正整数n(n<=40)

Output

输出n的不同划分个数。

Sample Input

3

6

Sample Output

3

11

【题目分析】

用dp[i][j]表示将i拆分成若干个数字，最大的那个数字不超过j的方案数。那么包括两种情况：第一种是最大的数不超过j-1，此时方案数是dp[i][j-1]；否则数字刚好是j，因为划分中存在最大值j，所以可以在(i-j)中继续以最大值为j来划分,此时方案数是dp[i-j][j]，（若题目要求不重复则为dp[i-j][j-1]）所以可得状态方程：

dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]，  i>=j
dp[i][j]=dp[i][i]，               i<j

当 i == 1 || j == 1 时，dp[i][j]= 1， 因为i为1，那么只能划分为1； 而j为1，那么只能划分成i个1.

当 i == j 时，dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[0][j]，可知dp[0][j] = 1，即划分数字正好等于自己

最后的dp

就是答案。

#include <stdio.h>

int dp[1005][1005];

void Integer_Partition(int n){

for(int i=1;i<=n;i++){
dp[i][1]=dp[1][i]=dp[0][i]=1;
}

for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=2;j<=n;j++){
if(i<j){
dp[i][j]=dp[i][i];
}else{
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
}
}
}
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
int n;
printf("input:");
scanf("%d",&n);
Integer_Partition(n);
printf("output:%d\n",dp

);

return 0;
}

dp
[k]，则是数n的划分中，其最大值不能大于k的划分个数。

类型二：将n划分成k个正整数之和

题目描述 Description

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。

1 1 5

1 5 1

5 1 1

问有多少种不同的分法。

输入描述 Input Description

输入：

n，k (6<n<=200，2<=k<=6)

输出描述 Output Description

输出：一个整数，即不同的分法。

样例输入 Sample Input

7 3

样例输出 Sample Output

4

数据范围及提示 Data Size & Hint

{四种分法为：1，1，5；1，2，4；1，3，3；2，2，3；}

【题目分析】

用dp[i][j]代表i分成j个部分有几种分法.

当 i < j 时，显然是不可能的，那么dp[i][j] == 0;

当 j == 1 时，dp[i][j] == 1;

当i >= j 时，d[i][j]=d[i-j][j]+d[i-1][j-1]，前半部分对应这j个数中不存在1的情况，那么我们就可以将划分中每个数都减去1，剩下的输仍然是大于0的，等价于将i减去了j，而后半部分这是对应这j个数中存在1的情况

且当 i == j 时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[0][j]=1，可知dp[0][j] =0

最终程序可以如下：

#include <stdio.h>

int dp[1005][1005];

void Integer_Partition(int n, int m){

for(int i=1;i<=n;i++){
dp[i][1]=1;
}

for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=2;j<=m;j++){
if(i<j){
dp[i][j]=0; //也可以改条件j<=i,舍弃该判断，默认已置0
}else{
dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1];
}
}
}
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
int n,m;
printf("input two numbers:");
scanf("%d %d",&n,&m);
Integer_Partition(n,m);
printf("output:%d\n",dp
[m]);

return 0;
}

如果要求是可以小于j个部分，那么就可以将结果从1一直加到j。

小结：

1.划分个数不固定，可用模型1（有最大值j无最大值j）：

将n划分成若干正整数之和的划分数。

将n划分成最大数不超过k的划分数。

将n划分成若干不同整数之和的划分数。（变形：dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j-1]）

将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数：

for(int i = 0; i <= n; i++){
a[i][1] = 1; //  最大值为1，只能全为1
if(i & 1) a[0][i] = 1; // 此式对应a[n][n], n为奇数的情况
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(j & 1) {
if(i >= j) a[i][j] = a[i-j][j] + a[i][j-1];
else a[i][j] = a[i][i];
} else { // j为偶数时
a[i][j] = a[i][j-1];
}
}
}

2.划分个数固定，用模型2（有1没1）：

将n划分成k个正整数之和的划分数。