0/1背包问题与矩阵乘法链(动态规划)

何为0/1背包问题：

0/1背包为一种特殊的背包问题，一个固定容量C的背包要装N种物品，每种物品只有一个，每种物品重量和价值都不相同，且只能选择装进去或者不装进去(即选择0或者1,无法只装一部分)，要使背包中的物品价值最大，此为0/1背包问题。

具体问题描述：

存在一个容量为10的背包，有5种物品，分别重2，2，6，5，4千克，价值分别是6，3，5，4，6元，选择方案使背包中物品的总价值最大。

动态规划解题思路：

动态规划与贪心都把大问题分解为小问题，但会不断记录前面求解出的结果用于后面的求解，从而减少了时间。动态规划的核心在于递推，所以要找到合适的递推公式，并且建立表格填表，把递推公式循环完毕即求出问题的答案。

在0/1背包问题的，一个物品只有装与不装两种选择，这时候，就出现了两种情况：

（1）已经装了i-1个物品，要装第i个物品，但包装不下了，此时MaxValue[i][j] = MaxValue[i-1][j]，其中j表示背包容量;

（2）要装第i个物品，包容量也够，要判断装下这个物品是否满足最优解，此时判断公式为：

MaxValue[i][j] = max{(MaxValue[i-1][j-Weight[i]] + Value[i]) , MaxValue[i-1][j]},即装与不装哪个价值大。

01背包问题代码实现：

准备了二维数组来作为输出结果的存储：

#define Num 5 //物品数量
#define Cap 10 //背包容量

int V[Num+1] = { 0,6,3,5,4,6 }; //背包物品价值
int W[Num+1] = { 0,2,2,6,5,4 }; //背包物品重量
int M[Num + 1][Cap + 1] = { 0 }; //结果数组

//01背包动态规划
void KnaspsackProblem(int *v,int *w)
{
int i, j; //用于循环
for (i = 1; i <= Num; i++)
{
for (j = 1; j <= Cap; j++)
{
if (j < w[i])
{
M[i][j] = M[i - 1][j];
}
else
{
int temp1 = M[i - 1][j];
int temp2 = M[i - 1][j - w[i]] + v[i];
M[i][j] = temp1 > temp2 ? temp1 : temp2;
}
}
}
}
结果与分析：

int main()
{
KnaspsackProblem(V, W);
for (int i = Num; i >0; i--)
{
for (int j = 1; j <= Cap; j++)
{
cout << M[i][j] << "\t";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
输出为：
i/j     1       2        3       4       5        6        7        8        9       10

5       0       6       6       9       9       12      12      15      15      15

4       0       6       6       9       9        9       10      11      13      14
3       0       6       6       9       9        9        9       11      11      14
2       0       6       6       9       9        9        9        9        9        9
1       0       6       6       6       6        6        6        6        6        6

即最大价值为15。

何为矩阵乘法链：

矩阵之间可以进行乘法操作，但必须满足Apq * Bmn中的A矩阵的列数等于B矩阵的行数，即q = m时，此时相乘得到的矩阵C的大小为p*n，其相乘次数为p*q*n。

具体问题描述：

给定n个矩阵构成的一个链<A1,A2,A3,.......An>，其中i=1,2,...n，矩阵A的维数为pi-1pi，对乘积 A1A2...An 以一种最小化标量乘法次数的方式进行加全部括号。

动态规划解题思路：

递推方程为：

i ==j时 ，m[i][j] = 0  ；

i < j时，m[i][j] = min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1-1*pk*pj。

矩阵乘法链代码实现：

#define N 10
//矩阵乘法链
void MatrixChain(int *p,int (*m)
,int (*t)
,int length)
{
int n = length - 1; //矩阵数量
int i, j,k;//用于循环
int s,num;
//当i=j时，只有一个矩阵，相乘次数为0
for (i = 1; i < length; i++)
{
m[i][i] = 0;
}
for (i = 2; i < length; i++)
{
for (j = 1; j < n - i + 1; j++)
{
s = j + i - 1;
m[j][s] = 0x7fffffff; //为无穷值
for (k = j; k <= s - 1; k++)
{
num = m[j][k] + m[k + 1][s] + p[j - 1] * p[k] * p[s];
if (num < m[j][s])
{
m[j][s] = num;
t[j][s] = s;
}
}
}
}

}

//打印结果
void OutputResult(int(*t)
, int i, int j)
{
if (i == j)
{
cout << "A" << i;
}
else
{
cout << "(";
OutputResult(t, i, t[i][j]);
OutputResult(t, t[i][j] + 1, j);
cout << ")";
}
}