有关时间复杂度，空间复杂度通俗的理解

有关时间复杂度，空间复杂度通俗的理解

今天，在复习C语言知识时，碰到了一个非常有趣的题目，题目如下：

一个数组中除了两个数字之外，其余数字均出现了两次，如{1， 2， 3， 4， 5， 3， 2， 1}。查找出这两个只出现一次的数字，要求如下：时间复杂度为O(n)，控件复杂度位O(n)。

当笔者看到这道题目的时候，就被“时间复杂度为O(n)，控件复杂度位O(n)”所困惑，究竟题目中的这两个要求是什么意思？

首先，笔者百度了一下，百度上显示如下：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。

what‘s that？一点都看不懂；

简单说O(n²)表示当n很大的时候，复杂度约等于Cn²，C是某个常数，简单说就是当n足够大的时候，n的线性增长，复杂度将沿平方增长。（如果还不懂继续往下看哦）

要想真正搞懂时间复杂度，空间复杂度其实不难，在笔者学习C中有关排序内容的时候就曾遇到过，只是当时没怎么注意，于是笔者又打开了尘封千年的笔记本，以下便是八大排序所对应的复杂度：



相信接触过排序的人都知道，各个排序是怎么实现的，举个最简单的例子——冒泡排序，在冒泡排序的代码中有这么一段：

// 这里是对长度为10的数组进行排序
for(i = 0; i < len-1; i ++)
{
for(j = 0; j < len - i - 1; j ++)
{
if(a[j] > a[j + 1])
{
tmp = a[j];
a[j] = a[j + 1];
a[j + 1] = tmp;
}
}
}

很明显，冒泡排序是通过连层嵌套的for语句实现的，对应上面表格中的时间复杂度（平均时间）是O(n^2)；所以，根据上面的定义，我们把时间(len/数组长度)扩大至无限大，第一个for循环是一个简单的线性增长所以是O(n)，同理，第二个for循环也是一个简单的线性增长，也是O(n)，由于两个是嵌套的所以总的时间复杂度是O(n^2)；

是不是，有了那么一点懂了，下面一些时间复杂度的算法:

时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。常见的时间复杂度有以下几种。
1，log(2)n，n，n log(2)n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!

1指的是常数。即，无论算法的输入n是多大，都不会影响到算法的运行时间。这种是最优的算法。
而n！（阶乘）是非常差的算法。当n变大时，算法所需的时间是不可接受的。

用通俗的话来描述，我们假设n=1所需的时间为1秒。当时间复杂度是1，那么当n = 10时，需要10秒；
当时间复杂度是n的平方时，n = 10，需要100s；

当 n = 10000时
O（1）的算法需要1秒执行完毕。
O（n）的算法需要10，000秒 ≈ 2.7小时 执行完毕。
O（n2）的算法需要100，000，000秒 ≈ 3.17年 执行完毕。
O（n！）的算法需要XXXXXXXX(系统的计算器已经算不出来了)。

对于程序A，for(int i=0;i<1000;i++)，当输入任意的n时循环次数均为1000，复杂度为O(1)；
对于程序B，for(int i=0;i<n;i++)，当输入任意的n时循环次数为n，复杂度为O(n)。

那么，相类似的，对于控件复杂度，我们可以理解为是空间复杂度，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。举个例子：

直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。
而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了，因为每次递归都要存储返回信息

以上是从百度百科截下来的原话，像堆排序，冒泡排序等空间复杂度都为1，而归并，基数则是n；简单来说一下原因，归并和基数排序中需要malloc动态分配内存空间，而冒泡，堆排序都是通过和自身元素换位置来排序的，最多交换变量时借助一个tmp变量；那么假如这四种排序同时对n(假设n非常大)个数据排序，归并和基数排序所maolloc的空间是大于n的，而堆和冒泡排序则是1或者是2；和n相比几乎可以忽略不计。

所以我们说堆，冒泡排序空间复杂度是O(1)，而归并，基数则是O(n)。

类似，空间复杂度算法和时间复杂度也是一样的，主要看程序运行时开辟多少空间辅助程序运行；

嗯，到了这里的话，我们大致有了解题思路了，条件限制是不能有多层嵌套，和递归函数的出现，而辅助内存则是越少越好，不能有大量数据复制。

#include <stdio.h>
int main() {
int a[] = {1, 2, 0, 2, 1, 9, 3, 9, 0, -1};
int number1 = 0, number2 = 0;
int i = 1, tmp = a[0], index = 0;
for (; i < sizeof(a)/sizeof(*a); ++i) {  //得出 3 ^ -1
tmp ^= a[i];
}
number1 = tmp;
number2 = tmp;
// number1 = 0;
// number2 = 0;
// number1 = tmp;  number2 = tmp; 时，number累积异或的结果为出现在另一组的那个数
// number1 = 0;  number2 = 0; 时，number累积异或的结果为出现在本组的那个数

while (tmp) {                    //找出tmp从右数第一个为1的位置
if (1== (tmp & 1)) {
break;
}
++index;
tmp >>= 1;
}
for (i = 0; i < sizeof(a)/sizeof(a[0]); ++i) {  //以index位为1将数组分成两部分，每部分只含有一个只出现一次的数字
if (1 == ((a[i] >> index) & 1)) {           //得到一个
number1 ^= a[i];
}
else {                                      //得到另外一个
number2 ^= a[i];
}
}
printf("%d  %dn", number1, number2);
return 0;
}