数据结构——树（5）——树的先序，中序，后序,层次遍历

树的存储结构

之前我们提到过堆是一棵特殊的树，在堆的存储方式中，我们选择了数组的方式去存储。因为只要知道一个节点的位置我们就能找到其他的节点的位置。但是前提是堆是一棵完全二叉树。树的结构多种多样，没人规定说一个节点只能有一个孩子。

我们先看下图，一个最简单的二叉树：



怎么表达？看到箭头，我们应该立马反应过来一个基本的工具，没错就是指针，应该立马反应过来一个数据结构，那就是链表！



对吧，把value换成我们的A B C,分别定义两个指针，一个指向左边的节点，一个指向右边的节点，其他的节点类似，就能把一棵二叉树表达出来了。很完美对吧。那么我们怎么用c++来描述这一个数据结构呢？代码如下：

struct Tree{
string value;
Tree *left;
Tree *right;
};

代码对应的结构图应该是这样的：



但肯定有人问，那么三叉树呢？n叉树呢是不是也可以同样的方式来定义呢？当然！就先说说三叉树，其实三叉树就是在中间多了一个往下的箭头对吧，那么我们的数据结构按上面的结构，多用一个指向中间的指针不就完事了？看下图：



那么 n 叉树呢？这个时候我们就发现如果按照上述的定义，太麻烦了，代码都得多几十行，而且不好记忆。那么我们可以把这些指针存进一个vector中，就像这样：

struct Tree {
string value;
Vector<Tree *> children;
};

这个vector里面存储着指向他们孩子节点的指针。就像这样：



那么树的存储结构在内存中是怎么样的呢？看下图

树的四种遍历方式

我们先看一颗树:



这是一棵简单的二叉树，现在我们来看看什么叫树的遍历:

遍历树的节点并在每个节点执行一些操作的过程称为遍历或行走树(traversing or walking the tree)。在许多情况下，将需要按照数值的的顺序遍历树 这种处理在左右子树的递归调用之间的节点的方法被称为中序遍历（inorder traversal）。 另外还经常发生另外两种类型的树遍历，它们被称为前序遍历和后序遍历（preorder and postorder traversals）。

先序遍历（preOrder）

遍历树的节点并在每个节点执行一些操作的过程称为遍历树，这是我们讲遍历之前提到过的，那么我们就以这个模式来讲解这个部分的内容。操作我们就用最简单的输出数据来实现。这样先序遍历的步骤就是：

- Do something

- Go left

- Go right

结合代码跟上面的树我们来讲解一下具体的步骤

void preOrder(Tree *tree){
if (tree == NULL) return; //如果树为空，直接返回函数
cout << tree -> value << endl;
preOrder(tree -> left);
preOrder(tree -> right);
}

首先，判断树是否为空，是，则直接返回，否则进行下一步。先执行操作（这里是输出节点的值），为Grumpy，然后继续先序遍历节点的左子树，此时的tree指向的是doc节点，判断这子树是否为空？结果是否，因为doc下面还有子节点（孩子分别为Bashful和Dopey）,判断为否后执行操作，输出Doc，继续先序遍历，此时tree指向Bashful，判断这子树是否为空，结果为否！（这是个叶子，没有子节点，但是也是一棵孤立的树），执行输出操作，输出Bashful。继续执行先序遍历操作，此时指针指向Bashful的左孩子，由于它没有孩子，于是判断这子树为空，返回程序（return；）。此时指针往上回退，对右边进行先序遍历，输出Dopey。判断这个节点有无孩子，继续执行上述操作。这样子，我们可以看到先序遍历是先遍历左边的子树，再遍历右边的子树。输出为：

中序遍历（inOrder）

中序遍历的步骤为：

- Go left

- Do something

- Go right

看一段代码：

void inOrder(Tree *tree){
if (tree == NULL) return;
inOrder(tree -> left);
cout << tree -> value << endl;
inOrder(tree -> right);
}

首先判断树是否为空，是直接返回，否则继续。继续中序遍历树的左节点，在这个例子中，一开始的指针指向的是Grumpy，因为树不为空，因此遍历它的左节点，也就是这个时候指针指向Doc，树仍然不为空，那么继续遍历其左节点，此时指针指向Bashful，此时bashful是个孤立的树叶，但仍是一棵子树。继续遍历其左子树，发现此时为空，程序直接返回上一级指针，也就是指向Bashful，并执行输出操作。接下来遍历其右节点，同理发现没有，指针回退到Doc，由于是由inOrder(tree -> left);回退而来，所以接下来输出Doc，然后执行inOrder(tree -> right)，指针指向Doc的右节点，也就是Dopey。过程同Bashful。完成后指针就会退至Grumpy。由于是由inOrder(tree -> left);回退而来，所以接下来输出Doc，然后执行inOrder(tree -> right)，指针此时指向Sleepy，树为空吗，否，指针继续往下，遍历左节点，也就是指针此时指向Happy，此时Happy是个孤立的树叶，但仍是一棵子树。继续遍历其左子树，发现此时为空，程序直接返回上一级指针，也就是指向Happy，并执行输出操作。然后重复上述的操作，得出结果应该是这样的：



Bashful

Doc

Dopey

grumpy

Happy

Sleepy

Sneezy

后序遍历（postOrder）

步骤为：

- Go left

- Go right

- Do something

代码为:

void postOrder(Tree * tree) {
if(tree == NULL) return;
postOrder(tree -> left);
postOrder(tree -> right);
cout<< tree->value << endl;
}

首先，指针指向Grumpy,判断树是否为空，是则返回，否则继续。后序遍历树的左节点，此时指针指向Doc，树为空吗？否，指针继续指向左子树，也就是Bashful。树仍然不为空，继续往下，发现左右子树都为空，立刻返回，然后输出该节点的值，也就是Bashful。指针往上返回，指向Doc，然后执行postOrder(tree -> right);此时指针指向Dopey，同上操作，输出Dopey。随后指针回退，指向Grumpy，此时树为空吗？否，遍历左边，输出Doc，然后遍历右边，指针指向Sleepy，此时树为空吗？否，继续遍历Happy，为空吗？否，查看树的左节点，为空，立刻返回，输出Happy，随后指针返回Sleep中，查看右节点，为空吗？否，遍历左右子树，为空，立刻返回，然后输出Sneezy，指针回退到Grumpy中，输出Sleepy，最后输出根节点。因此最终的结果为：



Bashful

Dopey

Doc

Happy

Sneezy

Sleepy

Grumpy

层次遍历（levelOrder）

考虑这样一个问题，如果我们需要将树的节点按顺序从左往右，依次按顺序输出，我们应该怎么办呢？能否按上述的步骤进行递归实现呢？唔。。。似乎不太容易，但是按顺序依次输出似乎让我们想到了什么？我们前面介绍过一种顺序数据结构，没错，就是我们的栈跟队列，显然这种情况我们选用队列好多了。我们要做的步骤为：

1. 将树装进我们的队列中，如果队列未空执行下列操作

2. 将树根移出队列

3. 对节点进行操作

4. 如果有左节点，进行出队列操作

5. 如果有右队列，进行出队列操作

这样，出队列的顺序就是树的层次顺序。代码为：

void levelOrder(Tree *tree) {
Queue<Tree *>treeQueue; //建立一个队列存储树，类型为指向树的指针
treeQueue.enqueue(tree);//将树装进我们的队列中
while (!treeQueue.isEmpty()) { //判断树是否为空
Tree *node = treeQueue.dequeue(); //定义一个Tree类型的指针，指向出队的节点
cout << node->value << " ";  //输出该节点的值

if (node->left != NULL) {     //如果存在左节点，将左节点移除
treeQueue.enqueue(node->left);
}
if (node->right != NULL) {   //如果存在右节点，将右节点移除
treeQueue.enqueue(node->right);
}
}
}

因此，按上述的例子，输出为：



Grumpy

Doc

Sleepy

Bashful

Dopey

Happy

Sneezy

好了，树的四种遍历方式就先讲到这里。不过个人感觉，再去做一下严蔚敏《数据结构(C语言版）》P129的那个表达式，能受益匪浅！！！