【QBXT】学习笔记——Day11网络流

网络流，真是一个有趣的课题呢。

经历了数学的折磨后，感觉世界真美好。珍爱生命，远离数论

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Day11 1.25AM

网络流的基本操作在此也没什么好说的。

要掌握的应该也就是dinic或者SAP(ISAP)+费用流算法。

主要难点还是在建模上。接下来就是一堆题目。

POJ2391 Ombrophobic Bovines

有FF个地方，每个地方有一定数量的牛，能够容纳一定数量的牛，某些地方之间有边，表示走两点之间需要消耗的时间。

现在求使得所有的牛都被容纳所需要的最少的时间。

时间是不确定的，所以我们二分答案。

对一堆点，如果最短路不超过二分的答案，则在其拆出道点之间连边，容量INF。满流则可行。

不拆点会挂的，因为可能会在任意连边点中流来流去。

拆点是为了分层。

POJ1149 PIGS

有NN个顾客，有MM个猪圈，每个猪圈有一定的猪，在开始的时候猪圈都是关闭的，

顾客来买猪，顾客打开某些猪圈，并可以在其中挑选一定的猪的数量，

在这个顾客走后，可以在打开的猪圈中将某个猪圈的一些猪牵到另外一个打开的猪圈，

然后所有的猪圈会关闭，这样下一个顾客来了继续上面的工作。

发现单位流量应该是表示猪的，先考虑朴素模型。

一共nn轮交易，那么建nn排点，每排mm个，代表每轮交易之前段猪圈，再对n个顾客设点。

对于每个顾客向汇连边，容量为购买上限。

源向第一轮猪圈连，容量为初始数量。

对于ii个顾客能打开的猪圈，从第i轮的这些猪圈向该顾客连边，容量INF，

同时向第i+1i+1轮的这些猪圈连边，容量INF。

显然是爆炸的。

网络流的常用的建模考虑手段是优化增广路。

分开考虑每个猪圈，考虑对其产生影响的顾客。

只有这些顾客才能买，也只有他们才能移动猪圈的猪。

那么从元向每个猪圈的第一个顾客连边，容量为初始数量。

每个猪圈的第ii个顾客向第i+1i+1个顾客连边，容量INF。

模型等价，而我们的建模进一步省略了猪圈。

也可以这样想：考虑到实际上顾客对猪有调配权。

假设顾客1能买A/B/C的猪圈，顾客2能买C/D猪圈。

那么实际上顾客2能买到A/B/C/D，因为顾客1可以将剩余的猪调配到C

这就是上面建模的思想。

POJ3281 Dining

有FF种食物,DD种饮料，NN头奶牛,每头牛有自己的喜欢的和食物和饮料。

一种食物被一头牛吃了之后,其余牛就不能吃了。

如果食物就是二分图匹配。现在大概是一个三分图？

我们对牛拆点限流即可。

最小割

增广路上每一条路，代表一个破石头门的 选择。

最大流>=最小割

此时不存在增广路，因此最大流是一个割。

最小割>=最大流

任意一个割的容量>=最大流

因此最大流=最小割。

意识流证明？

Escape

有一条山谷，长度为WW，宽度为LL，有nn个哨兵，第ii个哨兵的视野为以其位置为圆心半径为riri的圆。

现在要从山谷最左走到最右而不进入任何一个哨兵视野，问最少需要提前解决多少个哨兵。

考虑到能通过，即为上下边界之间不连通，转化为最小割模型。

上边界为源，下边界为汇。

对哨兵建点，将哨兵拆成两个点，左入右出，容量为1的边。

我们考虑我们在哨兵之间怎么连边？只要两个哨兵的视野范围重合就要连。

边权为无穷大，意味着不能割这个点，分别从出点向对方的入边连边。

如果哨兵视野和上边界碰到了，就从源向入连1。

如果和下边界碰到，就从出向汇连1.

BZOJ2561 最小生成树

一张n个点mn个点m条边的图，每条边有边权。

现在在点u和点vu和点v之间连一条权值为L的边，

我们要使这条边既能出现在最小生成树上，又可以出现在最大生成树上。

问要满足这一条件要删去多少条边。

显然对于最小生成树和最大生成树要删掉的边，没有交集。

删掉最少的边，使点u和点vu和点v不连通，显然是最小割。

uu作为源，vv作为汇，比它大的边加入图，跑最小割。

小的同理，两次结果之和即为答案。

最小权闭合子图：

通常用来描述有依赖关系的若干物品的选择与否，其本质上是最小割。

假设n个物品，每个物品有自己的收益，收益可能为负。

视从S可达到点为选择，可达T的点为不选择。

S->收益为正的物品：收益，

收益为负的物品->T：收益的绝对值。

如果a依赖于b，那么b->a:INF

答案为所有收益为正当物品的收益之和减去最小割。

考虑一条增广路来证明。

NOI2006最大获利(万恶之源)

有nn个中转站的选址，在第i个地址处建造中转站的代价为pipi。

有mm个用户，第i个会在aiai和bibi个中转站之间通讯，用户愿意支付cici

求建造方案，使获利最大。

CEOI2008 Order

有nn个项目和mm台机器，每个项目依赖于一些机器。

项目有正的收益，机器可以买也可以租，都有各自代价。借一次机器可以给一个项目用一次。

求最大收益。



CF331E Biologist

有nn个点，每个点可以是白色或者黑色，可以花vivi的代价改变第ii个点的颜色。

有mm个条件，每个条件都是要求某一些点都是某种颜色。

如果满足第ii个条件可以获得gigi的收益，否则付出lili的代价。求最大收益。

考虑没有条件，我们用网络流表示状态。

一个点跟源相连表示黑：代价，跟汇相连表示白：代价。

如果一个点最终是黑色的，那么它和汇的权是0，和源是代价。（考虑割边即为不满足）

割点边相当于改变颜色，割条件边相当于放弃条件。

因此我们也可以对条件建点。条件->点，INF，表依赖关系。

如果条件是黑色，SS->条件：收益+代价。条件->点：INF

如果条件是白色，条件->TT：收益+代价。点->条件：INF

正确性证明考虑增广路：

如果有一个点要改颜色，必然会有一条增广路是S->黑条件->点->白条件->T

那么由于条件与点之间的权是INF，因此必然会割掉其中一条边，表示放弃。

剩余的证明类似。

下面是一类经典问题

二元费用问题

有nn个点，选和不选各自有收益。有mm个条件，有三类（就是x/y/wx/y/w不一定相同）：

如果x和yx和y都选了，获得ww的收益。

如果x和yx和y都没选，获得ww的收益.

如果x和yx和y一个选了一个没选，付出ww的代价。

求最大收益。

这里没做笔记，不然跟不上，就贴图吧。







平面图对偶图

对于一个平面图，汇形成一个个小区域，再从源向汇连一条边，形成多一个域。

对于每一个域，作为一个点（包括无限域），将相邻的点连边，就形成了一个对偶图：

无限域作为T，原来的源汇边新构成的域作为S。

易得对偶图的对偶图就是原平面图。

然后我们求原图的最小割，相当于求对偶图的最短路。

就像这幅图，其中蓝色是原图，紫红色？是对偶图。



下面是一道很好的题，不过因为在切一道ltq发出来的JOI题，然后就没做，后来看看十分妙啊。



关键在于怎么转化问题，我们可以发现，最暴力的方法拆点后，我们求一个最小割，割的肯定是自己本身拆开的点。因为这条边的流量比较小。

问题就转化为了求对偶图的最短路。

至于这个对偶图怎么构，边权是什么，就要考虑八连通时最短路的东西。

在这里就不说了。

Day11 1.25PM

接下来是费用递增模型：这类模型是一类费用流模型，它代表着某个东西可以选择若干次，而次数每加1所需要的代价是递增的。一种常见情况是选择xx的代价为x2x2。

BZOJ1449(JSOI2009)

有nn支球队，有些球队之间已经打了一些比赛了，现给出每个球队的数据win、lose、Cwin、lose、C和DD，

分别表示已胜场数、已负场数，以及计算收益的两个系数。一支球队的收益为Cw2+Dl2Cw2+Dl2，

其中ww和ll是最后胜负的场数。接下来还有mm场比赛。

给出接下来mm场比赛的对阵情况，求出nn支球队收益和的最小值。

接下来mm场比赛的胜负是你可以决定的。

单位的流量代表什么？可以表示胜负关系。

对于n支球队和m场比赛各建一个点，从源向每场比赛连流量1费用0的边，

从比赛向参与这场比赛的两支队伍各连一条流量1费用0的边。剩下的就是队伍收益的费用表示了.

我们球队连向汇的边要表示费用。但因为每一次的增量是不同的，所以还要多加考虑。

如果我们不看负场，只看正常带来的收益。

那么我们就看这个球队接下来会赢多少场，然后每个胜场数连边。

这样我们每次选择的一定是费用最小的，然后是次小的，这样可以保障收益代表的胜场单调。

现在再考虑负场，那么在w++w++的时候，l−−l−−，显然前者的上升会更快，所以显然还是一个单调过程。

这样建模就没了。



BZOJ1070(SCOI2007)

有nn辆车和mm名修理工，一名修理工在一个时刻只能修一辆车，并且在修完一辆之后才能开始修下一辆。

已知每位修理工修每辆车的时间，求顾客的最小平均等待时间。顾客的等待时间为他的车被修好的时间。

首先假设方案是确定的，我们很容易可以得到解。

然后其实对于每一辆车，它的修的顺序越靠后，费用越少，但我们无法确定一共有多少车。

如果我们直接跑最短路，可能会先选到了后面的。

但是对于第ii辆车，花费是k−i+1k−i+1倍，而第k−i+1k−i+1辆车，花费是ii倍。

把每个工人拆成NN个点。记为A[i,j]A[i,j]表示第ii个工人修倒数第j辆车。

每个车跟所有N∗MN∗M个工人拆出的点连边。流量为1，费用为time[i,j]∗ktime[i,j]∗k。

源和每辆车连边，N∗MN∗M个点和汇连边，流量都为1，费用同为0。

等价于每个车有一个修车名额，然后塞进师傅的时间槽里。

为什么是对的呢？

考虑第i个工人，他修第j辆车只对后面要修的车有影响，而前面修过的车已经对当前没有影响了。

而这个影响就是后面每个将要修理的车都多等待了time的时间。

其他边流量都为1是显然的，每辆车修一次，每个工人一个时段只能修理一辆车。

BZOJ2879 NOI2012美食节

上一题的加强版。解释相对上一题。

考虑优化上一题的建点，有很多点是没有用的。

那么我们每修一辆车加一个点，丢一个点，保证点数是m+nm+n

我们动态来建这个图就行了。

BZOJ2597(WC2007)剪刀石头布

有nn个人，两两之间进行一次比赛。有些比赛已经进行了，有些还没有。

我们用一个竞赛图来表示输赢情况，一场比赛的有向边从输家连向赢家。

你可以决定尚未进行的比赛的输赢情况，使得下面这种三元组的数量最多：

(a,b,c)(a,b,c)表示一个无序三元组（(a,b,c)(a,b,c)的任意排列都算同一种），

其中存在有向边a−>b,b−>c,c−>aa−>b,b−>c,c−>a。需要输出方案。n<=100n<=100

如果合法，一定会有一个人赢一次，输一次，也就是要找度为2的。

方案数只和度数有关。但是直接算合法似乎不太好算，考虑算不合法的情况。

如果这个点入度为didi，不合法就是C2diCdi2。

这样总的答案就是C3n−∑C2diCn3−∑Cdi2

然后把这个式子化一下。

C3n−∑C2di==C3n−12∑(di(di−1))C3n+12∑di−12∑d2i(43)(44)(43)Cn3−∑Cdi2=Cn3−12∑(di(di−1))(44)=Cn3+12∑di−12∑di2

我们发现这最后一项带个平方，用前面的方法做就行了。

BZOJ3171(TC2013 R1AL3)

一块n×mn×m的地图，每个格子内有一个箭头。

从某个格子出发，沿着箭头的方向走，从一侧出来边界就从另一侧进入。

如果从任意一个格子出发能回到出发点各自，那么地图合法。

给点地图，求至少要改变几个格子的箭头方向，才能使地图合法。

如何才能使这个图合法？——每个格子入度和出度都为1

那么这个箭头有四个方向可以指，连一条边到当前所指的方向费用是0

考虑改变方向，显然需要花费1的代价。

这样源向每个点的原来的方向连1容量，费用0，对其他三个方向的点连1容量，费用1。

跑一次最小费用最大流，费用即为答案。

TC12432 SRM570 D1L3 CurvyonRails

一块n×nn×n的地图，每个格子均为空地或者障碍。

现在要铺铁轨（直的或弯的），每块空地都要被覆盖，每条路线必须闭合，且不能相交。

有些空地上住着弯星人，在这种空地上铺一块直的铁路需要花费1的代价。

给定地图，求是否能够铺铁轨，以及最小代价。

首先还是判断一下有没有解。

显然每个点的度数还是2，这又是一个网格图。那么我们就可以常规操作：

(对偶图)黑白染色。

有解即，存在一些不相交的回路可以覆盖所有空地且不覆盖任意障碍。

也即，每个空地向相邻的空地连出恰好两条轨道。

那么构建网络流模型。

对空地黑白染色，从源向黑点、从白点向汇连容量为2的边。

从黑点向相邻的白点连容量为1的边。满流即有解。



在已有的网络流模型基础上改进。

把每块空地拆成两个点，一个代表横向，一个代表纵向。

横向点向横向相邻的空地的横向点连一条容量为1的边，纵向的类似。满流即有解。



有一个很重要的性质？？

一个弯的轨道是一条横边和一条竖边，一个直到轨道是两条横的或两条竖的。

如果我们强制所有铁轨都是弯的，判断是否有解。

在已有的网络流模型基础上改进。

把每块空地拆成两个点，一个代表横向，一个代表纵向。

横向点向横向相邻的空地的横向点连一条容量为1的边，纵向的类似。满流即有解。

那么现在考虑如何将弯的铁轨变成直的。

那么我们可以把这个弯的铁轨的竖边扭成横边，这

样就在弯的铁轨拆出的横竖边之间加一条流量1费用1的边。

就没了。(码这段的时候感觉怪怪的)

听说接下来是进阶模型？？？

最小割模型。

经典题

BZOJ3144(HNOI2013)切糕

p×qp×q的网格，每个位置都有rr个取值(1 r1 r)的选择，每个选择都有各自的代价。

要求四连通相邻的两个位置的差不超过dd。问最小代价和。p,q,r<=40p,q,r<=40

对于每个位置的每个选择设点，形成一条链，相邻位置的边的流量为选择的代价。

由于每个位置只能选择一个取值，因此考虑最小割。

现在加入距离限制，距离可以描述为xi>=xj−dxi>=xj−d其中ii和jj相邻。

网络流中的限制通常用无穷大来的边来描述。

因此对于相邻的(x,y)(x,y)和(x’,y’)已经d<=k<=rd<=k<=r，连边(x,y,k)−>(x′,y′,k′)：INF(x,y,k)−>(x′,y′,k′)：INF

这个图的最小割就是答案。

这题还是很巧妙的，如何表示选择及代价。

用相连两点的边权表示代价，用割边表示选择。

而无穷大的边权依旧表示依赖关系，因为它不可能被割掉。

其实还有一些内容，但是我的硬盘貌似炸掉了，怎么办woc。

赶紧想办法修复硬盘。

总结一下：

如何考虑网络流：先看最暴力的方法，然后挖掘一些性质。

网络流的优化要考虑什么：增广路优化，点数优化，边数优化。

转化问题是很玄学的，是要随缘的。