[BZOJ 2154]Crash的数字表格
2018-01-25 16:41
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Description
今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如,LCM(6, 8) = 24。回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格,Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题:这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时,Crash就束手无策了,因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大,Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。Input
输入的第一行包含两个正整数,分别表示N和M。Output
输出一个正整数,表示表格中所有数的和mod 20101009的值。Sample Input
4 5Sample Output
122HINT
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。题解
\begin{aligned}ans&=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)\\&=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{ij}{gcd(i,j)}\end{aligned}枚举 $gcd(i,j)$ \begin{aligned}\Rightarrow ans&=\sum_{d=1}^{min\{N,M\}}\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{N}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{M}{d}\right\rfloor}\frac{ijd^2}{d}[gcd(i,j)=1]\\&=\sum_{d=1}^{min\{N,M\}}d\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{N}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{M}{d}\right\rfloor}ij\sum_{k\mid gcd(i,j)}\mu(k)\\&=\sum_{d=1}^{min\{N,M\}}d\sum_{k=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{N}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{M}{d}\right\rfloor\right\}}\mu(k)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{N}{dk}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{M}{dk}\right\rfloor}(ik)\cdot(jk)\\&=\sum_{d=1}^{min\{N,M\}}d\sum_{k=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{N}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{M}{d}\right\rfloor\right\}}\mu(k)\cdot k^2\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{N}{dk}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{M}{dk}\right\rfloor}ij\\&=\sum_{d=1}^{min\{N,M\}}d\sum_{k=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{N}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{M}{d}\right\rfloor\right\}}\mu(k)\cdot k^2\left(\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{N}{dk}\right\rfloor}i\right)\left(\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{M}{dk}\right\rfloor}j\right)\end{aligned}
设 $g(x)=\mu(x)\cdot x^2$ , $t(x)=\sum_{i=1}^{x}i=\frac{x\cdot(x+1)}{2}$ $$\Rightarrow ans=\sum_{d=1}^{min\{N,M\}}d\sum_{k=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{N}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{M}{d}\right\rfloor\right\}}g(k)\cdot t\left(\left\lfloor\frac{N}{dk}\right\rfloor\right)\cdot t\left(\left\lfloor\frac{M}{dk}\right\rfloor\right)$$
现在函数 $g$ 可以线性筛出,函数 $t$ 可以 $O(1)$ 求出,第二个 $\sum$ 中的式子可以 $O(\sqrt N)$ 求,最外层也可以 $O(\sqrt N)$ 求。总复杂度 $O(N)$ 。
//It is made by Awson on 2018.1.23 #include <set> #include <map> #include <cmath> #include <ctime> #include <queue> #include <stack> #include <cstdio> #include <string> #include <vector> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #define LL long long #define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a)) #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b)) #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b)) #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b)) #define writeln(x) (write(x), putchar('\n')) #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) using namespace std; const int MOD = 20101009; const int N = 1e7; void read(int &x) { char ch; bool flag = 0; for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar()); for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar()); x *= 1-2*flag; } void write(int x) { if (x > 9) write(x/10); putchar(x%10+48); } int n, m, g[N+5]; int isprime[N+5], prime[N+5], tot, mu[N+5]; void get_g(int N) { memset(isprime, 1, sizeof(isprime)); isprime[1] = 0; mu[1] = g[1] = 1; for (int i = 2; i <= N; i++) { if (isprime[i]) prime[++tot] = i, mu[i] = -1; for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) { isprime[i*prime[j]] = 0; if (i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i]; else {mu[i*prime[j]] = 0; break; } } g[i] = (g[i-1]+(LL)i*i%MOD*mu[i])%MOD; } } int t(int x) {return (LL)(x+1)*x/2%MOD; } int F(int n, int m) { if (n > m) Swap(n, m); int ans = 0; for (int i = 1, last; i <= n; i = last+1) { last = Min(n/(n/i), m/(m/i)); ans = (ans+(LL)(g[last]-g[i-1])*t(n/i)%MOD*t(m/i)%MOD)%MOD; } return ans; } int cal(int n, int m) { if (n > m) Swap(n, m); int ans = 0; for (int i = 1, last; i <= n; i = last+1) { last = Min(n/(n/i), m/(m/i)); ans = (ans+(LL)(i+last)*(last-i+1)/2%MOD*F(n/i, m/i)%MOD)%MOD; } return ans; } void work() { read(n), read(m); get_g(Max(n, m)); writeln((cal(n ,m)+MOD)%MOD); } int main() { work(); return 0; }
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