[NOI2010]能量采集
2018-01-25 14:59
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题目描述
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。
由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。
能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能 量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
在这个例子中,总共产生了36的能量损失。
输入输出格式
输入格式:仅包含一行,为两个整数n和m。
输出格式:
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。
输入输出样例
输入样例#1:【样例输入1】 5 4 【样例输入2】 3 4
输出样例#1:
【样例输出1】 36 【样例输出2】 20
说明
对于10%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10;对于50%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100;
对于80%的数据:1 ≤ n, m ≤ 1000;
对于90%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10,000;
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
如果gcd(x,y)=d,那么(x,y)到(0,0)显然经过了这些点
gcd(x,y)=1,gcd(x,y)=2....gcd(x,y)=d-1
所以列出
$2\times\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-n*m$
反演分块,这道题甚至不需要考虑复杂度,因为n<=100000
O(√n*√n)数论分块套一个数论分块直接就行了
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long lol; lol mu[100001],prime[100001],n,m,tot,N,M,as,ans; bool vis[100001]; void pre() {lol i,j; mu[1]=1; for (i=2;i<=n;i++) { if (vis[i]==0) { prime[++tot]=i; mu[i]=-1; } for (j=1;j<=tot;j++) { if (i*prime[j]>n) break; vis[i*prime[j]]=1; if (i%prime[j]==0) { mu[i*prime[j]]=0; break; } else mu[i*prime[j]]=-mu[i]; } } for (i=1;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1]; } lol query(int d) {lol i,pos; N=n/d;M=m/d; as=0; for (i=1;i<=N;i=pos+1) { pos=min(N/(N/i),M/(M/i)); as+=(mu[pos]-mu[i-1])*(N/i)*(M/i); } return as; } int main() {lol i,pos; cin>>n>>m; if (n>m) swap(n,m); pre(); for (i=1;i<=n;i=pos+1) { pos=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans+=((pos+i)*(pos-i+1)/2)*query(i); } ans=ans*2-n*m; cout<<ans; }
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