【笔记篇】斜率优化dp(一) HNOI2008玩具装箱
2018-01-24 21:43
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斜率优化dp
本来想直接肝这玩意的结果还是被忽悠着做了两道数论现在整天浑浑噩噩无心学习甚至都不是太想颓废是不是药丸的表现
各位要知道我就是故意要打删除线并不是因为排版错乱
反正就是一个del标签嘛并不是什么大事的说
讲道理这一篇要不是写laTex我就直接用html写了
Emmmm划掉的原因是因为跟正题一点关系都没有啊
不让自己写摘要我写第一段凑摘要好咯
第一次写花花绿绿的blog感觉还是很新鲜的
你看看我到了正文部分还划不划啊(该划的还是划╭(╯^╰)╮)
其实文章里有彩蛋比如这里 被你发现了OvO 哈哈
据说找到了所有的彩蛋能获得一些奖励(但很不幸这是假的
不过laTex公式也可以带颜色这真的是太棒啦
这一段对的如此不整齐的原因可能是为了逼死强迫症
明明是懒得把字数扣成一样的非要找这么个冠冕堂皇的借口么
上次我们说过
f[i]=max{f[j]+x[j]}(j∈[1,i))
这样的方程的优化(变量记录)和
f[i]=max{f[j]+x[j]}(j∈[i−m,i))
这样的方程的优化(单调队列), 但是如果遇到
f[i]=max{f[j]+g(i,j)}(j∈[1,i)
这样的方程, 就不会处理了… 这也就是今天要讲的斜率优化dp.
对于这种方程, 我们考虑将这个式子化成y=kx+b的形式, 其中y和x是只和j相关的式子, k是和i相关的式子, b是f[i]和其他什么常数, 然后根据类似于线性规划的知识维护一定的单调性来优化转移.
光这么讲也没什么意思嘛(鬼能看懂咯), 我们看例题. 其实就是bzoj1010 第一页就有 传送门不能隐身就算了
状态转移方程比较显然: 令f[i]表示装前i个东西的最小花费, sum[i]表示Ci的前缀和, 则
f[i]=min{f[j]+(sum[i]−sum[j]+i−j−1−L)2}
这样我们已经可以O(n2)做了, 不过并没有给部分分, 不知道能得几分, 反正n≤5W想A掉是不可能的.这辈子都是不可能的. dp优化以后跑得又快, 又可以装逼, 我超喜欢优化的!
所以很明显需要优化. 那么就是说要化式子.我讨厌化式子!!!
为了方便, 我们令s[i]=sum[i]+i,C=L+1, 那么
f[i]=f[j]+(s[i]−s[j]−C)2=f[j]+(s[i]−C)2−2(s[i]−C)∗s[j]+s[j]2
然后移项, 得到
f[j]+s[j]2=2(s[i]−C)*s[j]+f[i]−(s[i]−C)2
这样就出现了y=kx+b的形式. 根据线性规划一类的知识, 我们要在可行域中最小化f[i], 就是要最小化截距b. 话说化带颜色的式子的时候的laTex也是挺好看的..
那么怎么最小化截距呢? 我们画个图. 画的很丑大家轻喷…
首先很明显我们dp的时候求好t的状态可以存在一个点(x,y)里面, 即(s[t],f[t]−s[t]2). 这样我们每次就拿一条斜率为2(s[i]−C)的直线去里面找截距的最小值就行了. 但这样还是O(n2)的, 因为我们没有充分利用单调性来去掉那些根本不可能优的点.
Emmmm其实这张图画得更草率OvO
我们可以看到 如果将要插入的点是红色的, 那么无论斜率怎样, 它都不会比已经加入过的点优(截距更小), 我们就不需要考虑红色点了, 但是蓝色的点则是可能更优的, 那么我们就要保留蓝色点.
其实这里要证明决策单调性什么的 但画图就显得很直观 显然成立我们就不证了(明明是因为懒←_←
经过若干个点的验证, 我们发现, 可能更优的点都集中在下凸壳上!
那么我们维护下凸壳就好了. 这样的话转移的复杂度似乎从O(n)降到了O(H), 但似乎还是该怎么过不去就怎么过不去.
所以继续考虑, 为什么转移的时候非要遍历所有点呢?
我们惊奇地发现, 这个题有一个性质, 就是斜率k=2(s[i]−C)是递增的, 所以吧,
我们枚举下一个斜率的时候, 可以发现, 如果这个点与下一个点的连线的斜率比枚举的斜率小(前两个点), 那么截距就会比下一个点大, 而且由于斜率递增, 所以差距会越来越大, 那这个点我们就可以不要了. 所以我们就可以看出可以用一个单调队列来维护这个凸壳, 每次先把队首不合法的弹出, 然后取队首转移即可. 其实这里关于斜率的讨论应该是要化一波覆盖的式子的, 但是也是由图显然, 而且做半平面交的时候化过, 这里就不化了(显然还是因为懒←_←
这样的话转移的时间复杂度就从O(H)降到了O(1), 总复杂度也就降到了O(n)的水平, 就可以非常愉快的通过此题啦~ 所以不是很懂一个正解O(n)的题目给个n≤5W的数据范围是几个意思…
惊奇地发现自己调了一个晚上的原因竟然是化式子移项正负号反了??? 应该打回小学重造.
本来想用叉积结果化出来的式子太臃肿 我当时还不知道自己式子化错了然后不好调就删掉改成斜率了.
非常不喜欢这样损精度的方式但其实都是整数所以还好, 但是后来发现式子化错了之后懒得改就这么写下去了…
有一点就是5W*1e7要开long long.. 其实代码非常简单… 就这么几行你还调了一晚上←_←
#include <cmath> #include <cstdio> const int N=5e4+5; typedef long long LL; inline int gn(int a=0,char c=0){ for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()); for(;c>47&&c<58;c=getchar())a=a*10+c-48;return a; } LL s ,f ;int q ,h=0,t=0,n,l; double slope(int x,int y){return 1.0*(f[x]+s[x]*s[x]-f[y]-s[y]*s[y])/(s[x]-s[y]);} int main(){ n=gn(),l=gn()+1; for(int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+gn()+1; for(int i=1;i<=n;++i){ while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<=2*(s[i]-l)) ++h; f[i]=f[q[h]]+(s[i]-s[q[h]]-l)*(s[i]-s[q[h]]-l); while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>=slope(i,q[t])) --t; q[++t]=i; } printf("%lld",f ); }
我觉得代码写的非常清楚了 就这样吧…
怎么样,找到所有白字了嘛?? 哈哈哈~
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