判断点是否在三角形内 和 点是否在矩形内
2018-01-24 17:50
169 查看
转自https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/08/05/1793393.html
概述
给定三角形ABC和一点P(x,y,z),判断点P是否在ABC内。这是游戏设计中一个常见的问题。需要注意的是,这里假定点和三角形位于同一个平面内。本文介绍三种不同的方法,由浅入深
一 内角和法
连接点P和三角形的三个顶点得到三条线段PA,PB和PC,求出这三条线段与三角形各边的夹角,如果所有夹角之和为180度,那么点P在三角形内,否则不在,此法直观,但效率低下。
二 同向法
假设点P位于三角形内,会有这样一个规律,当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时,你会发现点P始终位于边AB,BC和CA的右侧。我们就利用这一点,但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢?我们可以从另一个角度来思考,当选定线段AB时,点C位于AB的右侧,同理选定BC时,点A位于BC的右侧,最后选定CA时,点B位于CA的右侧,所以当选择某一条边时,我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了,如何判断两个点在某条线段的同一侧呢?可以通过叉积来实现,连接AP,将AP和AB做叉积,再将AC和AB做叉积,如果两个叉积的结果方向一致,那么两个点在同一测。判断两个向量的是否同向可以用点积实现,如果点积大于0,则两向量夹角是锐角,否则是钝角。注释:为什么叉乘就可以判断方向性,因为叉乘是满足反交换律的,e= a x b
= -b x a, 满足右手定则(按夹角为锐角,顺时针),顺时针由a到b,大拇指的方向就是e的方向,AP x AB 与 AC x AB 叉乘的结果是同向的,方向都是垂直三角形ABC这个平面朝上的,而AQ
x AB 则是方向朝下,所以q和c不在同一侧;根据此原理就能判断一个点是否在一个三角形中。
代码如下,为了实现程序功能,添加了一个Vector3类,该类表示三维空间中的一个向量。
// 3D vector class Vector3 { public: Vector3(float fx, float fy, float fz) :x(fx), y(fy), z(fz) { } // Subtract Vector3 operator - (const Vector3& v) const { return Vector3(x - v.x, y - v.y, z - v.z) ; } // Dot product float Dot(const Vector3& v) const { return x * v.x + y * v.y + z * v.z ; } // Cross product Vector3 Cross(const Vector3& v) const { return Vector3( y * v.z - z * v.y, z * v.x - x * v.z, x * v.y - y * v.x ) ; } public: float x, y, z ; }; // Determine whether two vectors v1 and v2 point to the same direction // v1 = Cross(AB, AC) // v2 = Cross(AB, AP) bool SameSide(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P) { Vector3 AB = B - A ; Vector3 AC = C - A ; Vector3 AP = P - A ; Vector3 v1 = AB.Cross(AC) ; Vector3 v2 = AB.Cross(AP) ; // v1 and v2 should point to the same direction return v1.Dot(v2) >= 0 ; } // Same side method // Determine whether point P in triangle ABC bool PointinTriangle1(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P) { return SameSide(A, B, C, P) && SameSide(B, C, A, P) && SameSide(C, A, B, P) ; }
三 重心法
上面这个方法简单易懂,速度也快,下面这个方法速度更快,只是稍微多了一点数学而已三角形的三个点在同一个平面上,如果选中其中一个点,其他两个点不过是相对该点的位移而已,比如选择点A作为起点,那么点B相当
13cea
于在AB方向移动一段距离得到,而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。
所以对于平面内任意一点,都可以由如下方程来表示
P = A + u * (C – A) + v * (B - A) // 方程1
如果系数u或v为负值,那么相当于朝相反的方向移动,即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部,u和v必须满足什么条件呢?有如下三个条件
u >= 0
v >= 0
u + v <= 1
几个边界情况,当u = 0且v = 0时,就是点A,当u = 0,v = 1时,就是点B,而当u = 1, v = 0时,就是点C
整理方程1得到P – A = u(C - A) + v(B - A)
令v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A,则v2 = u * v0 + v * v1,现在是一个方程,两个未知数,无法解出u和v,将等式两边分别点乘v0和v1的到两个等式
(v2) • v0 = (u * v0 + v * v1) • v0
(v2) • v1 = (u * v0 + v * v1) • v1
注意到这里u和v是数,而v0,v1和v2是向量,所以可以将点积展开得到下面的式子。
v2 • v0 = u * (v0 • v0) + v * (v1 • v0) // 式1
v2 • v1 = u * (v0 • v1) + v * (v1• v1) // 式2
解这个方程得到
u = ((v1•v1)(v2•v0)-(v1•v0)(v2•v1)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))
v = ((v0•v0)(v2•v1)-(v0•v1)(v2•v0)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))
是时候上代码了,这段代码同样用到上面的Vector3类
// Determine whether point P in triangle ABC bool PointinTriangle(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P) { Vector3 v0 = C - A ; Vector3 v1 = B - A ; Vector3 v2 = P - A ; float dot00 = v0.Dot(v0) ; float dot01 = v0.Dot(v1) ; float dot02 = v0.Dot(v2) ; float dot11 = v1.Dot(v1) ; float dot12 = v1.Dot(v2) ; float inverDeno = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) ; float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ; if (u < 0 || u > 1) // if u out of range, return directly { return false ; } float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ; if (v < 0 || v > 1) // if v out of range, return directly { return false ; } return u + v <= 1 ; }
关于重心坐标
http://mathworld.wolfram.com/BarycentricCoordinates.html
二 、判断点是否在矩形内:
转自:http://blog.csdn.net/dapengbusi/article/details/50516126
理解了点是否在三角内,这个矩形就很好理解了
就需要实现一下,对于一个点是否在矩形内的判断。
只需要判断该点是否在上下两条边和左右两条边之间就行,判断一个点是否在两条线段之间夹着,就转化成,判断一个点是否在某条线段的一边上,就可以利用叉乘的方向性,来判断夹角是否超过了180度 如下图:
只要判断(p1 p2 X p1 p ) * (p3 p4 X p3 p) >= 0
就说明p在边p1p2, 和边p3p4中间夹着,同理如果(p2 p3 X p2 p ) * (p4 p1 X p4 p) >= 0 则说明p点在边p1p4
和边p2p3之间 。根据右手法则试一下就知道叉乘之后的方向了,如下图所示;
最后就是只需要判断 (p1 p2 X p1 p ) * (p3 p4 X p3 p) >= 0 && (p2 p3 X p2 p ) * (p4 p1 X p4 p) >= 0 ;
[cpp] view
plain copy
// ConsoleApplication18.cpp : Defines the entry point for the console application.
//判断一个点是否在矩形内部
#include "stdafx.h"
#include "iostream"
struct Point
{
float x;
float y;
Point(float x,float y)
{
this->x = x;
this->y = y;
}
};
// 计算 |p1 p2| X |p1 p|
float GetCross(Point& p1, Point& p2,Point& p)
{
return (p2.x - p1.x) * (p.y - p1.y) -(p.x - p1.x) * (p2.y - p1.y);
}
//判断点是否在5X5 以原点为左下角的正方形内(便于测试)
bool IsPointInMatrix(Point& p)
{
Point p1(0,5);
Point p2(0,0);
Point p3(5,0);
Point p4(5,5);
return GetCross(p1,p2,p) * GetCross(p3,p4,p) >= 0 && GetCross(p2,p3,p) * GetCross(p4,p1,p) >= 0;
//return false;
}
using namespace std;
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
while(true)
{
Point testPoint(0,0);
cout << "enter the point :" << endl;
cin >> testPoint.x >> testPoint.y;
cout << "the point is : "<< testPoint.x << " "<< testPoint.y << endl;
cout << "the point is " << (IsPointInMatrix(testPoint)? "in the Matrix .": "not in the matrix ." )<< endl;
}
return 0;
}
相关文章推荐
- 判断点是否在三角形内 和 点是否在矩形内
- 判断点是否在三角形内 和 点是否在矩形内
- 【算法】计算机图形学的一些经典小题:判断点在多边形内,随机生成三角形内的点,判断两个矩形是否相交等
- 判断点是否在三角形内 和 点是否在矩形内
- 判断点是否在三角形内 和 点是否在矩形内
- 判断点是否在三角形内 和 点是否在矩形内
- 判断点是否在三角形内 和 点是否在矩形内
- SPOJ AMR11B:Save the Students_判断点是否在圆、矩形、三角形内
- 12月27日任务 从键盘任意输入三角形的三边,判断是否能构成三角形,若能,则计算三角形的面积并输出,若不能,则输出不能构成三角形
- 如何判断一个点是否在三角形内部
- 判断两个矩形是否相交
- 如何判断一个点是否在三角形内部
- 给定四条线段判断是否可以构成一个矩形
- 判断点是否在三角形内
- 判断三角形与圆是否相交
- C# 判断两个矩形是否相交
- 判断两个矩形是否相交的4个方法
- 给定三边判断是否是直角三角形
- 控制台输入三条边长,判断是否能构成三角形。如果能构成,输出三角形的周长,并且告知该三角形是什么类型(锐角、直角、钝角),再判断下该三角形是 等腰、等边还是不等边三角形。
- 判断线段、折线、矩形、多边形、圆是否在圆内