Machine Learning Foundations 作业二 Question 4

台大在线课程的Machine Learning Foundations，作业二的Question 4



如何解这道题目？我们可以写一支python解这道题目。如，求Original VC Bound的epsilon(error)的上限为多少，定义一个function：

def errorForOriginalVcBound (N, sigma):

然后将数学式子写成代码，放进去就好了。但这时候，遇到一个问题，如何用程序表达mH？还记得VC
Dimension吗？：



我们可以将mH(N)换成N^dvc，如此一来，式子就写成：



于是，我们的function，多了一个参数，叫dvc：

def errorForOriginalVcBound (dvc, N, sigma):

也可以用Python定义一个function叫mH，覆用之。

def mH (N, dvc):
return math.pow (N, dvc)

Error for Original VC Bound的实作

def errorForOriginalVcBound (dvc, N, sigma):
value = 4 * mH (2*N, dvc) / sigma
value = 8 * np.log (value) / N
value = math.sqrt (value)
return value

接下来是 Error for Rademacher Penalty Bound的实作，

def errorForRademacherPenaltyBound (dvc, N, sigma):
value1 = 2 * N * mH (N, dvc)
value1 = 2 * np.log (
b780
value1) / N
value1 = math.sqrt (value1)

value2 = (2/N) * np.log (1/sigma)
value2 = math.sqrt (value2)

value3 = 1/N

return value1 + value2 + value3

再来是Error for Parrondo and Van den Broek的实作。但我们发现一个问题，就是公式的左右边，都有一个epsilon。有两种解法，

第1种解法，是用一元二次求x解的公式，x就是epsilon：

ax^2 + bx + c = 0

这样，就可以推导出，只有左边有epsilon的式子出来。于是，我们就把式子的右边，写成代码即可。这是数学家的作法。

第2种解法，将epsilon当成一个参数。至于要给什么样的值，我们可以先观察其它的式子算出来的结果，再做决定。我选择第2种解法，于是，Error
for Parrondo and Van den Broek的实作如下：

def errorForParrondoAndVanDenBroek (dvc, N, sigma, epsilon):
value = 6 * mH (2*N, dvc) / sigma
value = 2 * epsilon + np.log (value)
value = math.sqrt ((1/N) * value)
return value

对于Devroye而言，也是公式的左右两边，都有一个epsilon。实作的方法与刚才的Parrondo相同：

def errorForDevroye (dvc, N, sigma, epsilon):
value = np.log (4) + dvc * np.log (N * N) - np.log (epsilon)
value = 4 * epsilon * (1 + epsilon) + value
value = (1/(2*N)) * value
value = math.sqrt (value)
return value

这里有一个问题是，为何function的第一行要这么写？那是因为当N=10000时，直接计算，数字太大，计算机无法处理。我们可用以用对数运算，将式子拆解成计算机可以处理的单元，如下：



最后是Variant VC Bound的实作：

def errorVariantVcBound (dvc, N, sigma):
value = 2 * mH (N, dvc)
value = value / math.sqrt (sigma)
value = np.log (value)
value = (16.0 / N) * value
value = math.sqrt (value)
return value

所以，我们现在有5个functions，依据题目的顺序排列：
errorForOriginalVcBound

errorForRademacherPenaltyBound

errorForParrondoAndVanDenBroek

errorForDevroye

errorVariantVcBound

其中，errorForParrondoAndVanDenBroek和errorForDevroye因为都需要epsilon参数，而我们不知道该给那一个值，所以暂不管它。先求其它3个：

dvc = 50
sigma = 0.05
N = 10000

value1 = errorForOriginalVcBound (dvc, N, sigma)
print ("Error for Original VC Bound          = ", value1)

value2 = errorForRademacherPenaltyBound (dvc, N, sigma)
print ("Error for Rademacher Penalty Bound   = ", value2)

value3 = errorVariantVcBound (dvc, N, sigma)
print ("Error for Variant VC Bound           = ", value3)

执行结果



发现最小的值是0.3313。我们可以用这个最小的值，当作是epsilon的参数，用在errorForParrondoAndVanDenBroek和errorForDevroye

epsilon = min ([value1, value2, value3])
print ("epsilon = ", epsilon)

value4 = errorForParrondoAndVanDenBroek (dvc, N, sigma, epsilon)
print ("Error for Parrondo and Van den Broek = ", value4)

value5 = errorForDevroye (dvc, N, sigma, epsilon)
print ("Error for Devroye                    = ", value5)

执行结果



所以，Devroye公式算出来的值，是最小的。

-Count