第14章 概率图模型--近似推断

精确推断方法通常需要很大的计算开销，因此在现实应用中近似推断方法更为常用。近似推断方法大致可分为两大类：第一类是采样（sampling），通过使用随机化方法完成近似；第二类是使用确定性近似完成近似推断，典型代表为变分推断（variational inference）。

1 MCMC采样

在很多任务中，我们关心某些概率分布并非因为对这些概率分布本身感兴趣，而是要基它们计算某些期望，并且还能进一步基于这些期望做出决策。例如对图7（a）的贝叶斯网，进行推断的目的可能是为了计算变量x5的期望。若直接计算或逼近这个期望比推断概率分布更容易，则直接操作无疑将使推断问题的求解更为高效。

采样法正是基于这个思路。具体来说，假定我们的目标是计算函数f(x)在概率密度函数p(x)下的期望

Ep[f]=∫f(x)p(x)dx（21）

则可根据p(x)抽取一组样本{x1,x2,...,xn}，然后计算f(x)在这些样本上的均值

f^=1N∑i=1Nf(xi)（22）

以此来近似目标期望Ep[f]。若样本{x1,x2,...,xn}独立，基于大数定律，这种通过大量采样的办法就能获得较高的近似精度。问题的关键是如何采样。对概率图模型来说，就是如何高效地基于图模型所描述的概率分布来获取样本。

概率图模型中最常用的采样技术是马尔可夫链蒙特卡罗（Markov Chain Monte Carlo，简称MCMC）方法。给定连续变量x∈X的概率密度函数p(x)，x在区间A中的概率可计算为

P(A)=∫Ap(x)dx（23）

若有函数：f:X↦R，则可计算f(x)的期望

p(f)=Ep[f(x)]=∫xf(x)p(x)dx（24）

若x不是单变量而是一个高维多元变量x，且服从一个非常复杂的分布，则对式（24）求积分通常很困难。为此，MCMC先构造出服从p分布的独立同分布随机变量x1,x2,...,xn，再得到式（24）的无偏估计

p˜(f)=\fra1N∑i=1Nf(xi)（25）

然而，若概率密度函数p(x)很复杂，则构造服从p分布的独立同分布样本也很困难。MCMC方法的关键就在于通过构造“平稳分布为p的马尔可夫链”来产生样本：若马尔可夫链运行时间足够长（即收敛到平稳状态），则此时产出的样本x近似服从于分布p。如何判断马尔可夫链达到平稳状态呢？假定平稳马尔可夫链T的状态转移概率（即从状态x转移到状态x′的概率）为T(x′|x)，t时刻状态的分布为p(xt)，则若在某个时刻马尔可夫链满足平稳条件

p(xt)T(xt−1|xt)=p(xt−1T(xt)|xt−1),（26）

则p(x)是该马尔可夫链的平稳分布，且马尔可夫链在满足该条件时已收敛到平稳状态。

也就是说，MCMC方法先设法构造一条马尔可夫链，使其收敛至平稳分布恰为待估计参数的后验分布，然后通过这条马尔可夫链来产生符合后验分布的样本，并基于这些样本来进行估计。这里马尔可夫链转移概率的构造至关重要，不同的构造方法将产生不同的MCMC算法。

Metropolis-Hastings（简称MH）算法是MCMC的重要代表。它基于“拒绝采样”（reject sampling）来逼近平稳分布p。如图9所示，算法每次根据上一轮采样结果xt−1来采样获得候选状态样本x∗，但这个候选样本会以一定的概率被“拒绝”掉。假定从状态xt−1到状态x∗的转移概率为Q(x∗|xt−1)A(x∗|xt−1)，其中Q(x∗|xt−1)是用户给定的先验概率，A(x∗|xt−1)是x∗被接受的概率。若x∗最终收敛到平稳状态，则根据式（26）有

p(xt−1)Q(x∗|xt−1)A(x∗|xt−1)=p(x∗)Q(xt−1|x∗)A(xt−−1|x∗),（27）

Metropolis-Hastings算法

输入：先验概率Q(x∗|xt−1).

过程：

1：初始化x0;

2：for t=1,2,... do

3：根据Q(x∗|xt−1)采样出候选样本x∗;

4：根据均匀分布从(0,1)范围内采样出阈值u;

5：if u≤A(x∗|xt−1) then

6：xt=x∗

7：else

8：xt=xt−1

9：end if

10：end for

11：return x1,x2,...

于是，为了达到平稳状态，只需将接受率设置为

A(x∗|xt−1)=min(1,p(x∗)Q(xt−1|x∗)p(xt−1)Q(x∗|xt−1))（28）

吉布斯采样（Gibbs sampling）有时被视为MH算法的特例，它也使用马尔可夫链获取样本，而该马尔可夫链的平稳分布也是采样的目标分布p(x)。具体来说，假定x={x1,x2,...,xn}，目标分布为p(x)，在初始化x的取值后，通过循环执行以下步骤来完成采样：

（1）随机或以某个次序选取某个变量xi;

（2）根据x中除xi外的变量的现有取值，计算条件概率p(xi|xi¯)，其中xi¯={x1,x2,...,xi−1,xi+1,...,xn};

（3）根据p(xi|xi¯)对变量xi采样，用采样值代替原值。

2 变分推断

变分推断通过使用已知简单分布来逼近需推断的复杂分布，并通过限制近似分布的类型，从而得到一种局部最优、但具有确定解的近似后验分布。

在学习变分推断之前，我们先介绍概率图模型一种简洁的表示方法–盘式标记法（plate notation）[Buntine,1994]。图10给出了一个简单的例子。图10（a）表示N个变量x1,x2,...,xn}均依赖于其他变量z。在图10（b）中，相互对立的、由相同机制生成的多个变量被放在一个方框（盘）内，并在方框中标出类似变量重复出现的个数N；方框可以嵌套。通常用阴影标注出已知的、能观察到的变量，如图（10）中的变量x。在很多学习任务中，对属性变量使用盘式记法将使得图表示非常简洁。

图10 盘式记法的例示



在图10（b）中，所有能观察到的变量x的联合分布的概率密度函数是

p(x|θ)=πNi=1∑zp(xi,z|θ),（29）

所对应的对数似然函数为

lnp(x|θ)=∑i=1Nln{∑zp(xi,z|θ)},（30）

其中x={x1,x2,...,xn},θ是x与z服从的分布参数。

一般来说，图10所对应的推断和学习任务主要是由观察到的变量x来估计隐变量z和分布参数变量θ，即求解p(z|x,θ)和θ。

概率模型的参数估计通常以最大化对数似然函数为手段。对式（30）可使用EM算法：在E步，根据t时刻的参数θt对p(z|x,θt)进行推断，并计算联合似然函数p(x,z|θ)；在M步，基于E步的结果进行最大化寻优，即对关于变量θ的函数Q(θ;θt)进行最大化从而求取

θt+1=argmaxQ(θ;θt)=argmax∑zp(z|x,θt)lnp(x,z|θ)（31）

式（31）中的Q(θ;θt)实际上是对数联合似然函数lnp(x,z|θ)在分布p(z|x,θt)下的期望，当分布p(z|x,θt)与变量z的真实后验分布相等时，Q(θ;θt)近似于对数似然函数。于是，EM算法最终可获得稳定的参数θ，而隐变量z的分布也能通过该参数获得。

需注意的是，p(z|x,θt)未必是隐变量z服从的真实分布，而只是一个近似分布。若将这个近似分布用q(z)表示，则不难验证

lnp(x)=L(q)+KL(q||p),（32）

其中

L(q)=∫q(z)ln{p(x,z)q(z)}dz(33)

KL(q||p)=−∫q(z)lnp(z|x)q(z)dz(34)

然而在现实任务中，E步对p(z|x,θt)的推断很可能因z模型复杂而难以进行，此时可借助变分推断。通常假设z服从分布

q(z)=∏i=1Mqi(zi),（35）

即假设复杂的多变量z可拆解为一系列相互独立的多变量zi。更重要的是，可以令qi分布相对简单或有很好的结构，例如假设qi为指数族（exponential family）分布，此时有

L(q)=∫∏iqi{lnp(x,z)−∑ilnqi}dz=∫qj{∫lnp(x,z)∏i≠jqidzi}dzj−∫qjlnqjdzj+const=∫qjlnp˜(x,zj)dzj−∫qjlnqjdzj+const,（36）

其中

lnp˜(x,zj)=Ei≠j[lnp(x,z)]+const,（37）

Ei≠j[lnp(x,z)]=∫lnp(x,z)∏i≠jqidzi.（38）

我们关心的是qj，因此可固定qi≠j再对L(q)进行最大化，可发现式（36）等于−KL(qj||∏p(x,zj))，即当qj=∏p(x,zj)时L(q)最大。于是可知变量子集zj所服从的最优分布q∗j应满足

lnq∗j(zj)=Ei≠j[lnp(x,z)]+const,（39）

即

q∗j(zj)=exp(Ei≠j[lnp(x,z)])∫exp(Ei≠j[lnp(x,z)])dzj.（40）

换言之，在式（35）这个假设下，变量子集zj最接近真实情形的分布由式（40）给出。

显然，基于式（35）的假设，通过恰当地分割独立变量子集zj并选择qi服从的分布，Ei≠j[lnp(x,z)]往往有闭式解，这使得基于式（40）能高效地对隐变量z进行推断。事实上，由式（38）可看出，对变量zj分布q∗j进行估计时融合了zj之外的其他zi≠j的信息，这是通过联合似然函数lnp(x,z)在zj之外的隐变量分布上求期望得到的，因此亦称“平均场（mean field）”方法。

在实践中使用变分法时，最重要的是考虑如何对隐变量进行拆解，以及假设各种变量子集服从何种分布，在此基础上套用式（40）的结论再结合EM算法即可进行概率图模型的推断和参数估计。显然，若隐变量的拆解或变量子集的分布假设不当，将会导致变分法效率低、效果差。