UVA 10791 Minimum Sum LCM

题意是，给出一个数，求以该数为最小公倍数的一组数的和的最小值。

理论基础是：唯一分解定理（也即算数基本定理）。

1.通过简单分析可以看出，这组数必须两两互质。

　　可以进行简单证明。设这组数只有两个数a、b，且已知题目给出lcm为M，若a、b不互质，即gcd(a,b)!=1，则lcm=a*b/gcd(a,b)!=M,假设不成立。

2.如何保证两两互质？

　　首先求质因子。例24=2*2*2*3=2^3*3。

　　其次，三个2必须在一起，即将24分解为8*3。若这三个2拆开，形成的一组数中将会出现公因子2.

　　进一步的分析，例如264600=8*27*25*49，分解出的这四个数是否需要对他们继续相乘、合并呢？不需要了，直接将他们加起来就是我们要的答案！为什么呢？（x/a+a>=2*sqrt(x)，简单分析可知，相乘再相加的值大于直接相加。）

3.特殊值的处理

　　①对于1和素数，应将它分解为1乘它本身，所以和为N+1

　　②当所有质因子相同，例如8=2*2*2时，同样分解为1*8，和为N+1

4.时间上的优化

　　分解质因子时通常从1-n循环。

#include <cstdio>
using namespace std;
int a[10000],c,n,t;
int main(){
scanf("%d",&t);   //t组测试数据
while(t--){
scanf("%d",&n);
c=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
while(n%i==0){
a[c++]=i;
n/=i;
}
}
for(int i=0;i<c;i++){
printf(i==0?"%d":"*%d",a[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}

　　但事实上，对于数N，最多只有一个质因子大于sqrt(N)（简单证明，若有两个质因子a、b都大于sqrt(N),则ab相乘大于N），所以可以循环从1到sqrt(1+n).最后将大于sqrt(N)的数加上即可。

5.不同类型数值相加

　　long long sum; sum = (long long)n + 1;第二句代码如果不加(long long)会报错。

　　题目数据给到2^31-1，正好可以开到int没错，但是此时sum=2^31，要用long long。

6.对拍程序帮助debug。

AC代码：

#include <stdio.h>
#include <cmath>

using namespace std;
int main(){

int n,flag,c=0,min,t;
long long ans;
while(scanf("%d",&n)&&n){
ans=0;flag=0;min=sqrt(n+1);
for(int i=2;i<=min;i++){
t=1;
if (n%i==0){
flag++;
while (n%i==0) {
n/=i;
t*=i;
}
ans+=(long long)t;
}
}
if (flag==0) ans=(long long)n+1;
else if (n!=1||flag==1) ans+=n;
printf("Case %d: %lld\n",++c,ans);
}
return 0;
}