CROC 2016 - Final Round [Private, For Onsite Finalists Only] C. Binary Table（FWT）

题目链接：http://codeforces.com/contest/662/problem/C

首先将矩阵按列压成二进制，G[i]表示某一列为状态i时最小的1的数目，cnt[i]表示状态i时1的个数，按行枚举翻转状态j，则在状态i下，1的最小的数目为sigma(cnt[i]*G[i^j])，因为i^(i^j)=j，所以可以看作一个异或卷积的形式，采用fwt进行加速即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=(1<<20)+5;
const int M=1e5+5;
ll G[MAXN],F[MAXN],T[MAXN];
char s[M];
namespace fwt
{
void FWT(ll a[],int n)
{
for(int d=1;d<n;d<<=1)
for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)
for(int j=0;j<d;j++)
{
ll x=a[i+j],y=a[i+j+d];
a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=(x-y);
//and:a[i+j]=x+y;
//or:a[i+j+d]=x+y;
}
}
void UFWT(ll a[],int n)
{
for(int d=1;d<n;d<<=1)
for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)
for(int j=0;j<d;j++)
{
ll x=a[i+j],y=a[i+j+d];
a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2;
//and:a[i+j]=x-y;
//or:a[i+j+d]=y-x;
}
}
void solve(ll a[],ll b[],int n)
{
FWT(a,n);
FWT(b,n);
for(int i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*b[i];
UFWT(a,n);
}
}

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s+1);
for(int j=1;j<=m;j++)
{
T[j]|=((s[j]-'0')<<(i-1));
}
}
for(int j=1;j<=m;j++)
{
F[T[j]]++;
}
int tot=(1<<n);
for(int i=0;i<tot;i++)
{
int num=__builtin_popcount(i);
G[i]=min(num,n-num);
}
fwt::solve(G,F,tot);
int ans=1e9;
for(int i=0;i<tot;i++)
{
ans=min(ans,(int)G[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}