HDU 5793 A Boring Question

There are an equation.

∑0≤k1,k2,⋯km≤n∏1⩽j<m(kj+1kj)%1000000007=?

We define that (kj+1kj)=kj+1!kj!(kj+1−kj)! .
And (kj+1kj)=0 while kj+1<kj.

You have to get the answer for each n and m that
given to you.

For example,if n=1,m=3,

When k1=0,k2=0,k3=0,(k2k1)(k3k2)=1;

Whenk1=0,k2=1,k3=0,(k2k1)(k3k2)=0;

Whenk1=1,k2=0,k3=0,(k2k1)(k3k2)=0;

Whenk1=1,k2=1,k3=0,(k2k1)(k3k2)=0;

Whenk1=0,k2=0,k3=1,(k2k1)(k3k2)=1;

Whenk1=0,k2=1,k3=1,(k2k1)(k3k2)=1;

Whenk1=1,k2=0,k3=1,(k2k1)(k3k2)=0;

Whenk1=1,k2=1,k3=1,(k2k1)(k3k2)=1.

So the answer is 4.

Input

The first line of the input contains the only integer T,(1≤T≤10000)

Then T lines
follow,the i-th line contains two integers n,m,(0≤n≤109,2≤m≤109)

Output

For each n and m,output
the answer in a single line.

Sample Input

2
1 2
2 3

Sample Output

3
13

Author

UESTC

Source

2016 Multi-University Training Contest 6

Recommend

wange2014

题意：

求

∑0≤k1,k2...km≤n∏1≤j<m(kj+1kj)mod1000000007

题解：

这个题只是看上去吓人而已…

比赛的时候大部分都是找规律过的，后来看官方题解才茅塞顿开。

首先可以分析出来：这个和要是不为0，序列k必须非减，所以我们考虑非减的情况就行了。

接下来开始化简：

∵序列非减∴∑0≤k1,k2...km≤n∏1≤j<m(kj+1kj)=∑kmn∑km−1km...∑k1=0k2(k2k1)(k3k2)...(kmkm−1)

注意到后面的积可以分别提到和式的前面。

∑kmn∑km−1km(kmkm−1)∑km−2km−1(km−1km−2)...∑k1=0k2(k2k1)

这时，我们发现最里面的一项就是2k2，所以有：

∑kmn∑km−1km(kmkm−1)∑km−2km−1(km−1km−2)...∑k2k3(k3k2)⋅2k2

这时我们又发现此时的最后一项又可以由二项式展开来化简：

∑k2k3(k3k2)⋅2k2=(2+1)k3=3k3

这样一直进行化简，最后可以得到：

∑kmn∑km−1km(kmkm−1)⋅(m−1)km−1=∑kmnmkm

这样在最后就是一个等比数列求和了。

最终结果：

ans=mn+1−1m−1
代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 1e9 + 7;

ll quickmod(ll a,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1) ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b/=2;
}
return ans;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b) {
x=1,y=0;
return ;
}else {
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
}
}

int main(){
ll t,m,n;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n>>m;
///cout<<(quickmod(m,n+1)-1)*quickmod(m-1,mod-2)%mod<<endl;
ll x,y;
exgcd(m-1,mod,x,y);
x=(x+mod)%mod;
cout<<(quickmod(m,n+1)-1)*x%mod<<endl;
}
}