【QBXT】学习笔记——Day8分治

今天一早上就睡晚了呢0.0，七点半才起床

今天讲的可是分治啊！

分治的原理就是将一个大问题分成两个子问题，子问题再继续分下去。

将简单的子问题处理完以后和并起来得到大问题的答案。

divide−conquer−reduce

Concuerreny问题

给出n个数，计算它们的和，要求速度快。

如果普通的算法就是一个个加，递归层数4层。

并行算法：解决两个或多个子问题时，同时扔到两个或更多CPU上运行。

运行的时间只是解决一个子问题数量。显然运行速度与递归层数有关。

接下来给出一个数组，求前缀和。看这篇博文0.0

接下来要求设计一个并行的排序算法

双调序列：先单调递增，再单调递减的序列(或反过来)

双调序列排序：左右分成两段，同时从左到右枚举，小的放左边，得到两个双调序列。

并且：左边的双调序列元素小于右侧的双调序列所有元素。

迭代这个过程，长度为2的双调序列=有序。

老师讲这个东西，先画了一个倒着的V，然后把V的右边平移，整个序列是一个X

我们用一个扫描线，从左往右比较上下两个元素，将大的元素放在右，小的放左。

如何得到一个双调序列？我们同样分治

首先将第1/2组从小到大排序，3/4组从大到小排，5/6组从小到大…

这样将相邻两组放在一起就是一个双调序列，然后我们再安装上面的方法。

这样一直排下去，就可以得到一个最大的双调序列。

这个复杂度在并行的情况下应该是O(log2n)

这个东西叫做排序网络。

主定理- -



然后我们就要开始解题了：

Maximizing Unimodal Arrays双调序列最大值

显然将这个序列差分一下我们就可以二分了233

但是上面是错的，因为如果有相同元素怎么办呢？可能会GG。

三分法！

其实就是比较a[mid]和a[mid+1]，

<则递归右边，>则递归左边，=则两边都递归。

如果全部数都相等就GG了。

Common Algorithms

目标：找到第k大的数。

这个东西和排序有点不一样233，只用找到就行了。

简单的分治算法：选择一个主元，我们递归左边，看左边有多少个数比主元大，设为m

若m<=k，则在左边，否则在右边，往下一层找即可。

那么问题来了——我们如何找到这个主元？

可以随机！但是这个东西是被很好解决了的：

FindMedian算法：

把数组分成n5份，找到每一份的中位数。递归调用中位数算法，找到中位数的中位数。

然后最后用这个中位数作为主元即可。这样分完以后，两个区间最小是原大小的310

根据主定理T(n)=T(n5)+T(7n10)+O(n)=O(n)

这玩意的发明人真是牛啊- -（不想列了）

不过这个东西也不好在这写是吧，那么我们还是直接随机吧。

随机炸到n2的概率是：2(n−1)n!，应该还好吧，这个以后可以推算0.0

Tiling with Triominoes

给定一个n×n(n=2k)的矩阵，使用三格的L形骨牌进行覆盖。

问最优方案里，有多少的位置不能被覆盖到，覆盖方案是多少。

首先假定右上角这个格子不能被覆盖，分开这个矩阵，变成了n2×n2的矩阵

这样我们在中心的位置放一个L的骨牌，显然左上左下和右下，经过归纳后，都可以放完。

而左上角显然是一个子问题。归纳下去，我们可以得到一个方案，使右上角不覆盖。

将这个结论推广，不论我们选中哪一个格子不被覆盖，我们都可以构造一个方案出来。

Integer Multiplication

高精度乘法，给定两个长度为n的整数，求他们的乘积。

我们可以用FFT，当然更好的是用65536进制，因为进位可以用位运算。



解法就是这样，懒得自己码了。

Similar Trick:Strassen Algorithm

讲了矩阵乘法的优化分块？？然后就可以降低复杂度，但是没用。

CF888E

给定n个正整数ai和一个模数m。找到一个子集B，最小化：

(∑b∈Bb)modm

n<=35,ai,m<=1e9

看起来很难，其实就是爆搜。Meet in the Middle想法

爆搜前一半，爆搜后一半然后合并。

前一半的mod数弄出来以后排序，然后对于后一半的每个mod数在前面二分找就行了。

CF868F

给一个长度为n的序列ai，现在要求分成k块，

每一块的代价是“值相同但是位置不同数对个数”，求最小总代价。

n<=105,2<=k<=min(n,20),ai<=n

n2∗k的方法很显然了

f(n,k)=min(f(i,k−1)+cost(i+1,k))

显然f(n,k)这个函数关于k是单调的

考虑计算两个值f(i,k)和f(j,k)，i′和j′是两个决策点（即最后划分点），

显然决策点的位置也是单调的。

考虑i有两个决策点a和b,且a<b,决策点前的值相等。

如果我们在后面加一个元素,那么扩展的区间的cost,a显然是不小于b的。

这样子我们可以大力分治。

考虑这一类问题的做法：

如果现在分治区间L M R，分治区间L’ M’ R’，那么已知L’和R’，如何得到M’

事实上我们从L’到R’直接扫一次就行了。

BZOJ3263：三元逆序对(权限题)

给定n个三元组(Ai,Bi,Ci)，找出所有的i,j，使得三元内严格小于

n<=105,Ai,Bi,Ci<=2∗105

偏序题就是每一维用一个数据结构。

三维就是用排序干掉一维，然后CDQ一维，再树状数组一维。

对于这题，我们按照Ai排序，考虑对长度分治，每次考虑[L,R]区间内的答案。

递归处理两边，考虑所有跨越中间点的数对，满足i在左区间，j在右区间。

我们从小到大枚举Bi，用线段树维护Ci。

即每遇到左边的一个Bi，我们就将Ci这个值放进线段树（维护每个值出现多少次）。

如果遇到右边的一个Bi，我们就求一下这棵线段树在1～Ci的和。

BZOJ3456贸易线路

求点数为n的简单无向图的个数。简单图：无重边，有自环。n<=105

戳这里

递推式是fi=2C2i−∑i−1j=1fj∗Cj−1i−1∗2C2i−j

然后左右两边同除(n−1)!

fi(i−1)!=2C2i(i−1)!−∑i−1j=1fj∗2C2i−j(j−1)!∗(i−j)!

∑ij=1fj(j−1)!∗2C2i−j(i−j)!=2C2i(i−1)!

那么这是一个卷积的形式，我们令：

A=∑ni=1fi(i−1)!xi

B=∑ni=02C2ii!xi

C=∑ni=12C2i(i−1)!xi

则A∗B=C

那么A≡C∗B−1(mod xn+1)

也就是多项式求逆。

ZOJ 3874 Permutation Graph是和上面那题差不多的练习题。

Balkan OI 2007：Mokia

有一个W×W的棋盘，每个格子有一个数，初始为0。

维护两种操作：Add：(x,y)加A，Query(x,y,xx,yy)询问矩阵和

显然可以用二维线段树做。

当然也可以用CDQ分治做。

实际上我们只用考虑前一半操作对后一半操作的影响。

问题转化为给定点集(x,y,A)，查询若干个矩阵内的点。

BZOJ2716天使玩偶

维护一个二维平面，支持如下两种操作：

1.插入一个点(x,y)

2.询问一个点(xq,yq)最近的点，曼哈顿距离

|x,y|<=105,q<=105

首先分治，考虑左半边已经加入的点对右半边的影响。

dis(i,q)=|xi−xq|+|yi−yq|

曼哈顿距离常用套路，分四种情况讨论。

先解决dis1(i,q)=(xi−xq)+(yi−yq)

求满足：xi>xq,yi>yq，且xi+yi最小的点。

带权为xi+yi的点集，二维区间最值。

上午讲的东西，其实很大程度上是处理一种”依赖关系“

即分治时如何处理前面对后面的影响。

但是上午讲的东西确实超乎了我的认知233

Day8 1.22NIGHT

今天考试很烦啊，T1T2都是秒的题，然后都挂了。

T1老师讲了一个置换群的问题：

一个置换的n次方就代表这个置换进行n次。然而并没有什么用。

倍增乱搞写挂了？？

没有判0。

T2写分治，然后又写挂了？？？但是本地测是过的（上面是RE）

听说O(qe)可过。然而不关我事啊

如果没有去掉一个物品的限制，就是一个简单背包。

rqy神犇的思路是对整个区间进行分块，然后每个块背包，再合并。

老师的算法是这样的：

考虑已经有一个背包，那么现在要加入一个新的物体。

复杂度是O(背包大小的)，这是十分简单的，但删除是很困难的。

考虑分治算法。

假设现在要求12到34这区域的dp值，

其他区域的dp值一定使用到这个区域的dp值。

这样我们每次分到一部分时，我们将所有外部的dp值都传到这个部分。

然后再进行合并。

也就是说，对于每个区块，我们将右边的dp值丢到左边去算，

同样将左边的dp丢到右边去算。

我的思路也是分治，同样是将一部分的dp值丢到另一边然后dp。

但是在写法上有点不同。

用单调队列优化以后复杂度应该是O(nlogn)的

写挂了很可耻可耻可耻。并没有写挂。

rqy的T3的40pt是这样的：

首先点——边——点的最短距离就是作对称点然后连直线求交。

对于有两条边（即点——边——边——点）的情况也是一样的。

然后就这样水，不断按多边形的顺序跑。

为什么呢？因为跑的路线一定是不交的(如果交一定可以替换为更优的)

但是这样做的时候有个问题，因为可能连起来的直线不在线段上。

正解在这里：

最后的答案一定是从O出发，经过若干条边的反射到了一个顶点，

然后再从顶点经过若干条边到另一个顶点，最后再回到原点。

f[i][j]表示i这个点和j这个点经过光路最速原理走过去的值是多少。

这是两个点之间仅通过边反射的最短距离。

然后我们再用floyd求出任意两个点之间的最短路。

预处理另外两个数组，一个是从原点出发，顺时针反射到某个点的距离，

另一个是从原点出发逆时针反射到某个点的距离，这样线性扫一遍就行了。

计算几何和图论的结合，真好玩啊。

然后我顺便找到了原题，是2012ACM-ICPC-WF的H

WC2007疯狂赛车，也是这样一种题目。

然后继续讲课了

NOI2007货币兑换——分治好题233

有两种操作，n天进行货币买卖，第i天可以进行两种操作。

1.花费s，按照市值ai,bi收获两种股票，两种股票的比例是固定的r_i

2.给定一个比例k，按照市值ai,bi把手中k的持有的A和B卖掉。

给定所有参数问底n天后最大持有现金数。

一个很显然的结论是每次都会操作所有的现金/股票

f[i]表示第i天最多有多少钱。

那么我们枚举上一个买入交易日j，第j天花所有钱买入股票，在第i天全部卖掉。

f[i]=maxf[i−1],fa(j)∗a[i]+fb(j)∗b[j]

fb[j]=f[j]a[j]∗r[j]+b[j]

fa[j]=a[j]∗f[j]a[j]∗r[j]+b[j]

对于i，决策j优于k的条件是：

r[j]∗f[j]−r[k]∗f[k]f[j]−f[k]>−b[i]a[i]

但是这个斜率优化的单调性十分的差，我们动态维护这个凸包很难。

平衡树是可以的。但我们考虑更简单的做法（也许吧，我是这么认为的）

其实，我们接下来需要干什么？

1.加点，维护上凸壳

2.用一条固定斜率的线从上往下扫描，回答碰到的第一个点

其中第二个问题等价于在凸包上二分。

考虑CDQ分治，我们先计算出左半边点的dp值，

考虑左半边的dp怎么影响右半边？

——左半边的点可能被右半边的询问线碰到。

操作变成：

给定左半边的点集，构造凸包；

给定左半边的凸包，二分右半边的斜率在左半边的位置。

这题的主要思想是利用CDQ将一些动态的东西转化为静态的。

这样做是O(nlog2n)的

考虑进一步优化。

我们比较容易想到的是二分的优化，将右半边的询问斜率进行排序。

然后我们二分后的斜率选择的点就是单调往右的。

再考虑第二步优化，因为我们已经分治了，不妨将下一层的凸包也传上来。

凸包的合并是可以做到O(n)用两个指针单调扫的。

这样复杂度就被优化到了O(nlogn)

这道题的思想是十分重要的，回去一定要好好写一次。

练习题：WF2011,Machine Works

POI2011:METEOR

有m个天文台排成一个环形，每个天文台属于n个国家中的一个。

有k场流星雨，第i场波及[l[i],r[i]]，为每个天文台提供ai的陨石

每个国家有陨石需求量bj。问每个国家在第几场流星雨后达到陨石需求。

这道题在当初讲整体二分的时候做了0.0

线段树可以维护流星雨的信息，但是怎么统计呢？

我们可以用整体二分233，就是对答案进行分治。

每次询问加上[L,M]这段区间的流星，有多少国家满足了。

满足的二分左侧区间，不满足的二分右侧区间。

右侧区间信息怎么维护呢？我们可以用主席树/撤销操作/简单统计。

BZOJ3110 K大数查询

有n个vector：vi排成一排，维护以下操作：

1abc，对于i∈[a,b],vi.push_back(c)

2abc，查询Ui∈[a,b]vi集合的第c大元素

第二个操作就是合并[a,b]这些区间后的第c大。

这也是经典题目啊，数据结构题QvQ，但哦我们还是要整体二分做！

我们对答案“分治”。那么每次要求的就是对于每一个询问 a,b→ans。

扫描所有操作，每次询问是否存在至少C个数，他们<M(二分的M)且在[a,b]区间范围内

查询就是查询一段树是不是大于C

总结一下

分治是一个很有趣的东西，

绝大多部分题，尤其是CDQ分治和整体二分，

将动态的问题变成了一些静态的东西。

最后听说是一道娱乐题：K近邻相交查询

给定n个排序的实数，有若干组询问：

(x,y,k)，询问距离x最近的k个点和距离y最近的k个点是否有交集

假定对于每个点没有两个点和它距离相同。

n,k<=105,ai<=109

又是rqy讲的qwq

显然距离每个点前k近的点是一段连续的区间。

二分距离x第k近的点距离是多少，然后我们再二分一次，距离x不超过v的点距离是多少。

这个做法是O(nlog2n)的

二分以每个点为中心往外扩k个，那么显然我们要看看x左延和右延的哪边距离大

balabala

这个做法是O(nlogn)的

然后还可以拓展下，变成二维询问曼哈顿距离的K近邻相交查询

做法是一样的。

但是我们可以考虑旋转45度233

对于每个询问我们就可以转化为旋转45度的矩形有没有交。

今天真的是很不爽啊

做题量太少的后果。

明天要开始学数学了，十分慌张QAQ