堆排序
2018-01-22 18:46
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堆排序
堆排序(Heapsort)是指利用堆积树(堆)这种数据结构所设计的一种排序算法,它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆,是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值,即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中,需要使用的就是大根堆,因为根据大根堆的要求可知,最大的值一定在堆顶。1991年的计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(Robert W.Floyd)和威廉姆斯(J.Williams)在1964年共同发明了著名的堆排序算法( Heap Sort )堆排序演示
分析
在分析之前我们先介绍下二叉树和堆得一些性质(特点)。二叉树
性质1:一棵非空二叉树的第i层上最多有2(i−1)个结点,(i>=1)。性质2:一棵深度为k的二叉树中,最多具有2k−1个结点,最少有k个结点。
性质3:对于一棵非空的二叉树,度为0的结点(即叶子结点)总比度为1的结点多一个,即叶子结点数为n0,度为2的结点数为n2,则有n0=n2+1。
性质4:具有n个结点的完全二叉树深度为(log2(n))+1。
性质5:对具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下和从左至右的顺序对二叉树的所有结点从1开始编号,则对于任意的序号为i的结点有:
如果i>1,那么序号为i的结点的双亲结点序号为i/2;
如果i=1,那么序号为i的结点为根节点,无双亲结点;
如果2i<=n,那么序号为i的结点的左孩子结点序号为2i;
如果2i>n,那么序号为i的结点无左孩子;
如果2i+1<=n,那么序号为i的结点右孩子序号为2i+1;
如果2i+1>n,那么序号为i的结点无右孩子。
堆
n个关键字序列Kl,K2,…,Kn称为(Heap),当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质):ki<=k(2i)且ki<=k(2i+1)(1≤i≤ n/2),当然,这是小根堆,大根堆则换成>=号。k(i)相当于二叉树的非叶子结点,K(2i)则是左子节点,k(2i+1)是右子节点
若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构,则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树:
树中任一非叶子结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。
大根堆和小根堆:根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆,又称最小堆。根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者,称为大根堆,又称最大堆。
注意:
堆中任一子树亦是堆。
以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap),类似地可定义k叉堆。
详解
堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征,使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。(1)用大根堆排序的基本思想
先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆,此堆为初始的无序区
再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换,由此得到新的无序区R[1..n−1]和有序区R[n],且满足R[1..n−1].keys≤R[n].key
由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质,故应将当前无序区R[1..n−1]调整为堆。然后再次将R[1..n−1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n−1]交换,由此得到新的无序区R[1..n−2]和有序区R[n−1..n],且仍满足关系R[1..n−2].keys≤R[n−1..n].keys,同样要将R[1..n−2]调整为堆。
……
直到无序区只有一个元素为止。
(2)大根堆排序算法的基本操作
建堆,建堆是不断调整堆的过程,从len/2处开始调整,一直到第一个节点,此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程,从len/2到0处一直调用调整堆的过程,相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示节点的深度,len/2表示节点的个数,这是一个求和的过程,结果是线性的O(n)。
调整堆:调整堆在构建堆的过程中会用到,而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i),选出三者最大(或者最小)者,如果最大(小)值不是节点i而是它的一个孩子节点,那边交互节点i和该节点,然后再调用调整堆过程,这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系,是lgn的操作,因为是沿着深度方向进行调整的。
堆排序:堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换),将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程,然后再将根节点取出,这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)(调用一次);调整堆的时间复杂度是lgn,调用了n-1次,所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)
过程分析
一般用数组来表示堆,若根结点存在序号0处, i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。(注:如果根结点是从1开始,则左右孩子结点分别是2i和2i+1。)
如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。
左图为其存储结构,右图为其逻辑结构。
构造初始堆
初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。假设有n个元素的堆,那么最后一个非叶子元素的下标是[n/2]-1(向下取整),所以筛选只需要从第[n/2]-1个元素开始,从后往前进行调整。
比如,给定一个数组,首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。
然后从最后一个非叶子结点开始,每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换,交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质,所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。
经过不断调整最后为大根堆
进行堆排序
有了初始堆之后就可以进行排序了。堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。
排序开始,首先输出堆顶元素(因为它是最值),将堆顶元素和最后一个元素交换,这样,第n-1个位置(即最后一个位置)作为有序区,前n-2个位置仍是无序区,对无序区进行调整,得到堆之后,再交换堆顶和最后一个元素,这样有序区长度变为2。。。
不断进行此操作,将剩下的元素重新调整为堆,然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1,有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1,排序完成。
首先,建立初始的堆结构如上图:
然后,交换堆顶的元素和最后一个元素,此时最后一个位置作为有序区(有序区显示为橘黄色),然后进行其他无序区的堆调整,重新得到大顶堆后,交换堆顶和倒数第二个元素的位置……
重复此过程:
……
最后,有序区拓展完成,即排序完成:
由排序过程可见,若想得到升序,则建立大顶堆,若想得到降序,则建立小顶堆。
堆排序的实现
Java版package sort; public class HeapSort { private static void buildMaxHeapify(int[] data) { // 没有子节点的才需要创建最大堆,从最后一个的父节点开始 int startIndex = getParentIndex(data.length - 1); // 从尾端开始创建最大堆,每次都是正确的堆 for (int i = startIndex; i >= 0; i--) { maxHeapify(data, data.length, i); } } /** * 创建最大堆 * * @paramdata * @paramheapSize需要创建最大堆的大小,一般在sort的时候用到,因为最多值放在末尾,末尾就不再归入最大堆了 * @paramindex当前需要创建最大堆的位置 */ private static void maxHeapify(int[] data, int heapSize, int index) { // 当前点与左右子节点比较 int left = getChildLeftIndex(index);// 5 int right = getChildRightIndex(index); int largest = index; if (left < heapSize && data[index] < data[left]) { largest = left; } if (right < heapSize && data[largest] < data[right]) { largest = right; } // 得到最大值后可能需要交换,如果交换了,其子节点可能就不是最大堆了,需要重新调整 if (largest != index) { int temp = data[index]; data[index] = data[largest]; data[largest] = temp; maxHeapify(data, heapSize, largest); } } /** * 排序,最大值放在末尾,data虽然是最大堆,在排序后就成了递增的 * * @paramdata */ private static void heapSort(int[] data) { // 末尾与头交换,交换后调整最大堆 for (int i = data.length - 1; i > 0; i--) { int temp = data[0]; data[0] = data[i]; data[i] = temp; maxHeapify(data, i, 0); } } /** * 父节点位置 * * @paramcurrent * @return */ private static int getParentIndex(int current) { System.out.println(current); return (current - 1) >> 1; } /** * 左子节点position注意括号,加法优先级更高 * * @paramcurrent * @return */ private static int getChildLeftIndex(int current) { return (current << 1) + 1; } /** * 右子节点position * * @paramcurrent * @return */ private static int getChildRightIndex(int current) { return (current << 1) + 2; } private static void print(int[] data) { int pre = -2; for (int i = 0; i < data.length; i++) { if (pre < (int) getLog(i + 1)) { pre = (int) getLog(i + 1); System.out.println(); } System.out.print(data[i] + "|"); } } /** * 以2为底的对数 * * @paramparam * @return */ private static double getLog(double param) { return Math.log(param) / Math.log(2); } private static int[] sort = new int[] { 7, 6, 2, 4, 3, 8, 9 }; public static void main(String[] args) { buildMaxHeapify(sort); heapSort(sort); print(sort); } }
Python版
''' Created on 2018年1月20日 @author: ylg ''' # 调整堆 def adjust_heap(lists, i, size): lchild = 2 * i + 1 rchild = 2 * i + 2 max = i if i < size / 2: if lchild < size and lists[lchild] > lists[max]: max = lchild if rchild < size and lists[rchild] > lists[max]: max = rchild if max != i: lists[max], lists[i] = lists[i], lists[max] adjust_heap(lists, max, size) # 创建堆 def build_heap(lists, size): for i in range(0, (int(size / 2)))[::-1]: adjust_heap(lists, i, size) # 堆排序 def heap_sort(lists): size = len(lists) build_heap(lists, size) for i in range(0, size)[::-1]: lists[0], lists[i] = lists[i], lists[0] adjust_heap(lists, 0, i) return lists a = [7, 6, 2, 4, 3, 8, 9] print("排序之前:%s" % a) b = heap_sort(a) print("排序之后:%s" % b)
时间复杂度
最优时间复杂度:O(nlogn)最坏时间复杂度:O(nlogn)
稳定性:不稳定
堆排序的时间,主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成
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