bzoj3994: [SDOI2015]约数个数和 莫比乌斯反演

bzoj3994: [SDOI2015]约数个数和

Description

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求 ∑iN∑jMd(ij)

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2

7 4

5 6

Sample Output

110

121

HINT

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

分析

结论：d(nm)=∑i|n∑j|m[gcd(i,j)=1]

结论看不出来，证明还是可以水一下的

证明看这里：PoPoQQQ大爷的题解

于是

ans=∑iN∑jM∑u|i∑v|j[gcd(u,v)=1]

=∑iN∑jM⌊Ni⌋⌊Mj⌋[gcd(i,j)=1]

=∑iN∑jM⌊Ni⌋⌊Mj⌋∑d|n⋀d|nμ(d)

令i=id,j=jd

=∑dNd∑i⌊Nd⌋⌊Nid⌋∑j⌊Md⌋⌊Mjd⌋

此时，我们令f(n)=∑in⌊ni⌋

则

ans=∑dNd⋅f(⌊Nd⌋)⋅f(⌊Md⌋)

对于f(n)我们分块预处理，复杂度O(nn−√)对于ans，我们再分块，复杂度O(Tn−√)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 50000;
int read() {
char ch = getchar();int x = 0, f = 1;
while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
return x * f;
}
int mu[N + 10], p[N + 10], tot, n, m;
long long f[N + 10];
bool vis[N + 10];

void mobius() {
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; ++i) {
if(!vis[i]) {mu[i] = -1; p[++tot] = i;}
for(int j = 1;j <= tot && i * p[j] <= N; ++j) {
vis[i * p[j]] = true;
if(i % p[j]) mu[i * p[j]] = -mu[i];
else break;
}
}
for(int i = 1;i <= N; ++i) mu[i] += mu[i - 1];
}

long long get_f(int n) {
long long ret = 0;
for(int i = 1, pos; i <= n; i = pos + 1) {
pos = n / (n / i);
ret += (n / i) * (pos - i + 1);
}
return ret;
}

int main() {
mobius();
for(int i = 1;i <= N; ++i) f[i] = get_f(i);
int T = read();
while(T--) {
n = read(); m = read(); if(n > m) swap(n, m);
long long ans = 0;
for(int i = 1, pos;i <= n; i = pos + 1) {
pos = min(n / (n / i), m / (m / i));
ans += f[n / i] * f[m / i] * (mu[pos] - mu[i - 1]);
}
printf("%lld\n", ans);
}

return 0;
}