jzoj2754 【2012东莞市选】时间流逝 (概率，赌徒破产问题)

题面

生活可以很简单。可以探索水底世界的神秘，也可以去发现奇特新生物，亦或踏上一段新生的旅程。在必须要迎接挑战或跟周围的生物进行生存争夺之前，享受自由的飞翔。此时你会觉得生活是如此美好。
像蛇喜欢吃浮游生物一样（哦，我好像忘记告诉你这个常识），每天，你可以吃一些你周围的基础生物，然后会在你的尾巴上得到一个能量圈。你将会有好多种不同的能量圈，每一个都会被赋予一个能量。你可以拥有多个同种的能量圈，但是对于新得到的能量圈，它的能量不能大于你已拥有的任何一个能量圈。在前面规则的前提下，获得新的能量圈的种类的概率是一样的。一天天过去，你得到越来越多的能量，开始了进化演变。
但是你也有自己的问题，有时你会面对邪恶的果冻鱼。它会追着你咬你，你不得不扔出最小能量值的能量圈然后赶忙逃跑。在这种情况下，你不会有任何的胃口了，因此这天你将不再得到任何能量圈。幸好，当你没有任何能量圈的时候，果冻鱼就算看见你也不会追着你，此时你可以好好地享用美食。
你听说当你的总的能量值超过了某个阈值之后，可以进化成强大模式并能够吃掉果冻鱼。是时候反击了！下面是本题的问题：预计要过多少天你才能进化成强大模式？（第一天默认你没有任何能量圈）

对于所有数据，0.1≤P≤0.9，1≤T≤50，1≤N≤30。

分析

这题很日！首先设

令f表示总和为y，剩余物品为z的某一种确切方案，到结束的期望天数.

我们只需要求当y=0,z=n时的f即可（因为只有一种方案嘛）

f=(fa+1)∗p+∑(f′+1)∗1−pz

fa是f的前项(fa取一个转移到f)，f’是f的后项 (这里有点难理解，具体来说就是：

先要求f，然后f又要求其他..依次类推….

当前可能会

1.退一个，回到fa

2.进一个，新f’

假如我们可以用A*f+B表示∑f′，

那么就可以用fa表示f，也就是f=fa*A+B，到最后就是A*不存在+B=f[0][1]。

终点就是如果y>T则显然期望是0。

又因为f[0][1]没有前项转移，所以就可以求得f[0][1].

其实就是赌徒破产问题的一个变形。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 35;
typedef double db;
db P,ans;
int T,n,a
;
struct node{db A,B;};
node jy[55]
;
node operator+(node a,node b) {return (node){a.A+b.A,a.B+b.B};}
node operator+(node a,int b) {return (node){a.A,a.B+b};}
node operator*(node a,db b) {return (node){a.A*b,a.B*b};}
node dfs(int s,int x,int dep)  {
if (s>T) return (node){0,0};
if (jy[s][x].A + jy[s][x].B !=0) return jy[s][x];
node now=(node){0,0};
for (int i=1; i<=x; i++) now=now+(dfs(s+a[i],i,dep+1)+1);
if (s==0) {
now=now*(1.0/x);
return jy[s][x]=(node){0,now.B/(1-now.A)};
} else {
now=now*((1-P)/x);
return jy[s][x]=(node){P/(1-now.A),(now.B+P)/(1-now.A)};
}
}

int main() {
freopen("1.in","r",stdin);
while (scanf("%lf %d %d",&P,&T,&n)!=EOF) {
for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+1+n);
printf("%.3lf\n",dfs(0,n,0).B);
}
}