数据库（二） 关系模型之关系代数

关系代数运算的特点

①基于集合，提供了一系列的关系代数操作：并、差、笛卡尔积（广义积）、选择、投影和更名等基本操作；

②以及交、连接和关系除等扩展操作，是一种集合思维的操作语言；

③关系代数操作以一个或多个关系为输入，结果是一个新的关系；

④用对关系的运算来表达查询，需要指明所用操作，具有一定的过程性；

⑤是一种抽象的语言，是学习其他数据库语言，如SQL等的基础；

 

关系代数操作



（1）关系代数的约束：并相容性

①参与运算的两个关系及其相关属性之间有一定的对应性、可比性或意义关联性；

②定义：关系R与关系S存在相容性，当且仅当：

关系R与关系S的属性数目必须相同；

对于任意i，关系R的第i个属性的域必须和关系S的第i个属性的域相同；

 

（2）并（Union）

①定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一个关系，记作：R∪S，它由或者出现在关系R中，或者出现在S中的元组构成；

②数学描述：R∪S={t|t∈R∨t∈S}，其中t是元组；

③并运算是将两个关系的元组合并成一个关系，在合并时去掉重复的元组；

④R∪S和S∪R运算那结果是同一个关系，其描述示意图如下：



（3）差（Difference）

①定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的差运算结果也是一个关系，记作：R－S，它由出现在关系R中，但不出现在S中的元组构成；

②数学描述：R－S={t|t∈R∧t∉S}，其中t是元组；

③R－S与S－R是不同的，其区别的描述示意图如下：



（4）广义笛卡尔积（Cartesian Product）

①定义：关系R(<a1,a2,...,an>)与关系S(<b1,b2,...,bm>)广义笛卡尔积（简称广义积，或积或笛卡尔积）运算结果也是一个关系，记作：R×S，它由关系R中的元组与关系S的元组进行所有可能拼接（或串接）构成；

②数学描述：



③应用场景：当一个检索涉及到多个表时，便需要将这些表串接或拼接起来，然后才能检索，这时，就要使用广义笛卡尔积运算；

④R×S=S×R：R×S为R中
的每一个元组都和S中的所有元组进行串接。S×R为S中的每一个元组都和R中的所有元组进行串接。结果是相同的；

⑤两个关系R和S，它们的属性个数分别是n和m，则笛卡尔积R×S的属性个数=n+m；

⑥两个关系R和S，它们的元组个数分别是x和y，则笛卡尔积R×S的元组个数是x×y；

 

（5）选择（Select）

①定义：给定一个关系R，同时给定一个选择的条件condition（简记con），选择运算结果也是一个关系，记作σcon（R），它从关系R中选择出满足给定条件condition的元组构成；

②数学描述：



③选择操作从给定的关系中选出满足条件的行，条件的书写很重要，尤其是当不同运算符在一起时，要注意运算符的优先次序，优先次序自高至低位：括弧、θ、﹁、∧、∨；

 

（6）投影（Project）

①定义：给定一个关系R，投影运算结果也是一个关系，记作∏A（R），它从关系R中选出属性包含在A中的列构成；

②数学描述：



③注意，投影操作是从给定关系中选出某些列组成新的关系，而选择操作是从给定关系中选出某些行组成新的关系；

 

（7）交（Intersection）

①定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的交运算结果也是一个关系，记作：R∩S，它由同时出现在关系R和关系S中的元组构成；

②数学描述：R∩S={t|t∈R∧t∈S}，其中t是元组；

③R∩S和S∩R运算的结果是同一个关系；

④交运算可以通过差运算来实现：R∩S=R－（R－S）=S－（S－R）；


   


（8）θ连接（theta-Join）

①定义：给定关系R和关系S，R与S的θ连接运算结果也是一个关系，记作


，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取R中属性A与属性之间满足θ条件的元组构成；

②数学描述：



③投影与选择操作知识对单个关系（表）进行操作，而实际应用中往往涉及多个表之间的操作，这就需要θ连接操作；

④在实际应用中，θ连接操作经常与投影、选择操作一起使用；

⑤操作过程：对两个表进行广义笛卡尔积 --> 从广义笛卡尔积中选取符合条件的元组-->在新表上进行投影操作，得到最终的结果；

⑥特别注意：虽然在讲θ连接操作时，使用笛卡尔积然后再进行选择来得到θ连接结果。这主要是方便理解。但当引入连接操作后，DBMS可直接进行连接操作，而不必先形成笛卡尔积；

（9）等值连接（Equi-Join）

①定义：给定关系R和关系S，R与S的等值连接运算结果也是一个关系，记作


，它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取R中属性A与S中属性B上值相等的元组所构成；

②数学描述：



③当θ连接中运算符为“=”时，就是等值连接，等值连接是θ连接的一个特例；

④广义积的元组组合并不是都有意义的，另外广义积的元组组合数目也非常庞大，因此采用θ连接/等值连接运算可大幅度降低中间结果的保存量，提高速度；

 

（10）自然连接（Natural-Join）

①定义：给定关系R和关系S，R与S的自然连接运算结果也是一个关系，记作

，

它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取相同属性组B上值相等的元组所构成；

②数学描述：



③自然连接是一种特殊的等值连接；

④要求关系R和关系S必须有相同的属性组B，R和S属性相同，值必须相等才能连接；

⑤要在结果中去掉重复的属性列；

 

（11）书写关系代数表达式的基本思路

①检索是否涉及多个表，如不涉及，则可直接采用并、差、交、选择与投影，只要注意条件书写正确与否即可；

②如涉及多个表，则检查，能否使用自然连接，将多个表连接起来（多数情况是这样的），如不能，能否使用等值或不等值连接（θ连接），还不能，则使用广义笛卡尔积，注意相关条件的书写；

③连接完后，可以继续使用选择、投影等运算，即所谓数据库的“选投联”操作：