51nod1228：序列求和（伯努利数）

题面

题意：求幂和∑ni=0ik 模1e9+7

n≤1e18，k≤2e3，5000组数据

曾记得L指导koi后教我们杜教筛，普及了下幂和怎么求

一本正经地推试子

原来那就是伯努利数

还说实在不会就写高斯消元

由于我还很菜，还在学，就随便吹一些。

当某个数列Bi​指数生成函数为xex−1​，

我们定义它叫伯努利数

即∑∞n=0Bnn!xn=xex−1​

根据常识（泰勒展开），数列{ti}的指数生成函数为etx

定义伯努利多项式βn(t)=∑nk=0CknBn−ktk

为ti与Bi​的指数生成多项式的积

设Sk(x)=∑xi=1ik

根据DYH的ptt上的推导，得到了一条很重要的试子

Sk(x)=1k+1∑g=0kCgk+1Bgxk+1−g

把x取0，得到B的递推试

Bn=−1n+1∑k=0n−1Ckn+1Bk

根据b的定义，有∑n=0∞Bnn!xn=xex−1​=1∑∞i=0xi(i+1)!

多项式求逆就可以了。

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

using namespace std;
#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))

typedef long long LL;

const int N=5050;
const LL mo=1e9+7;

int T;
LL B
,jc
,I
,Ijc
;
LL n,k,ans;
LL f
;

int main()
{
jc[0]=Ijc[0]=I[1]=1;
for(int i=2;i<=3000;i++)
I[i]=(mo-mo/i)*I[mo%i]%mo;

for(int i=1;i<=3000;i++)
jc[i]=jc[i-1]*i%mo,Ijc[i]=Ijc[i-1]*I[i]%mo;

B[0]=1;
for(int i=1;i<=2000;i++)
{
for(int j=0;j<=i-1;j++)
B[i]=(B[i]+jc[i+1]*Ijc[j]%mo*Ijc[i+1-j]%mo*B[j]%mo)%mo;
B[i]=mo-B[i];
B[i]=B[i]*I[i+1]%mo;
}

cin>>T;

while(T--)
{

scanf("%lld%lld",&n,&k);
ans=0;
f[0]=1;

for(int i=1;i<=k+1;i++)
f[i]=f[i-1]*((n+1)%mo)%mo;

for(int i=1;i<=k+1;i++)
ans=(ans+jc[k+1]*Ijc[i]%mo*Ijc[k+1-i]%mo*B[k+1-i]%mo*f[i]%mo)%mo;
ans=ans*I[k+1]%mo;

printf("%lld\n",ans);
}

return 0;
}