bzoj 1937: [Shoi2004]Mst 最小生成树 KM算法

题意

1<=n<=50,1<=m<=800,1<=wi<=1000

分析

有点奇怪一个O(n3)的算法为什么跑这么快。。。

做法大概就是说，把原图中的每一条边看成新图中x侧的点，把mst中的边看成新图中y侧的点。

若原图中有一条边(x,y,w)，且mst上x到y路径中边的最大值大于w，那么这两条边就要相互影响。

准确的来讲，就是这两条边的代价的和不得小于他们权值差的绝对值。

设lx[i]表示mst上第i条边的代价，ly[i]表示原图中第i条边的代价，那么现在有若干个形如lx[i]+ly[j]<=lim的限制条件，要求最小化∑lx[i]+∑ly[i]

很容易发现这就是KM算法的限制条件。

那么我们只用在新图中把该边加上，然后最大权匹配即为答案。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;

const int N=805;
const int inf=1000000000;

int n,m,dep
,fa
,val
,cnt,last
;
map<pair<int,int>,int> ma;
struct edge{int to,next,w;}e[N*2];
struct data{int x,y,z;}a
;

int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

struct Max_Val_Match
{

int n,m,map

,lx
,ly
,match
,slack
;
bool vx
,vy
;

bool aug(int x)
{
vx[x]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (vy[i]||lx[x]+ly[i]-map[x][i]) continue;
vy[i]=1;
if (!match[i]||aug(match[i]))
{
match[i]=x;
return 1;
}
}
return 0;
}

int solve()
{
n=max(n,m);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
lx[i]=max(lx[i],map[i][j]);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=1;j<=n;j++) vx[j]=vy[j]=0;
if (aug(i)) continue;
while (1)
{
for (int j=1;j<=n;j++) slack[j]=inf;
for (int x=1;x<=n;x++)
if (vx[x])
for (int y=1;y<=n;y++)
if (!vy[y]) slack[y]=min(slack[y],lx[x]+ly[y]-map[x][y]);
int mn=inf,to;
for (int j=1;j<=n;j++) if (!vy[j]) mn=min(mn,slack[j]);
for (int j=1;j<=n;j++)
{
if (vx[j]) lx[j]-=mn;
if (vy[j]) ly[j]+=mn;
else slack[j]-=mn,to=!slack[j]?j:to;
}
if (!match[to]) break;
int s=match[to];vx[s]=vy[to]=1;
for (int j=1;j<=n;j++) if (!vy[j]) slack[j]=min(slack[j],lx[s]+ly[j]-map[s][j]);
}
for (int j=1;j<=n;j++) vx[j]=vy[j]=0;
aug(i);
}
int ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++) ans+=lx[i]+ly[i];
return ans;
}

}km;

void addedge(int u,int v,int w)
{
e[++cnt].to=v;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
e[++cnt].to=u;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}

void dfs(int x)
{
dep[x]=dep[fa[x]]+1;
for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
{
if (e[i].to==fa[x]) continue;
fa[e[i].to]=x;
val[e[i].to]=e[i].w;
dfs(e[i].to);
}
}

bool check(int x,int y,int z)
{
int flag=0;km.n++;
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
while (dep[x]>dep[y])
{
if (z<val[x]) flag=1,km.map[km.n][x]=val[x]-z;
x=fa[x];
}
while (x!=y)
{
if (z<val[x]) flag=1,km.map[km.n][x]=val[x]-z;
if (z<val[y]) flag=1,km.map[km.n][y]=val[y]-z;
x=fa[x];y=fa[y];
}
return flag;
}

int main()
{
n=read();m=read();
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read(),z=read();
if (x>y) swap(x,y);
ma[make_pair(x,y)]=z;
a[i]=(data){x,y,z};
}
for (int i=1;i<n;i++)
{
int x=read(),y=read();
if (x>y) swap(x,y);
addedge(x,y,ma[make_pair(x,y)]);
}
dfs(1);
km.m=n;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int x=a[i].x,y=a[i].y,z=a[i].z;
if (!check(x,y,z)) km.n--;
}
printf("%d",km.solve());
return 0;
}