约瑟夫环问题的非链表解法及简便解法

约瑟夫环(约瑟夫问题)是一个数学的应用问题:已知n个人(以编号1，2，3…n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列;依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。后几个算法默认k=1.

链表解决的方式，创建结构体，初始化头结点，插入操作， 循环出队

这里用非链表的方式实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;
public class 约瑟夫环问题 {
public static void main(String[] args) {
Scanner input=new Scanner(System.in);
int n=input.nextInt();
int m=input.nextInt();
List<Integer> list=new ArrayList<Integer>();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
list.add(i);
}
int index=m%n==0?m-1:m%n-1;
while (list.size()>1) {
System.out.println("remove_index->"+list.get(index));
list.remove(index);
index+=(m-1);
index=index%list.size();
}
System.out.println(list.get(0));
}
}

数组实现

#include<stdio.h>
#define N 1000000
int flag
= {0};
int main()
{
int n = 0, m = 0;
scanf("%d%d", &n, &m);
int i = 0;
int count = 0;  //记录出圈的人数
int num = 0;    //报数器
for(i = 1; i <= n; i++) {
flag[i] = 1;
}
while(count < n - 1) {
for(i = 1; i <= n; i++ ) {
if (1 == flag[i]) {
num++;
if(num == m) {
printf("%d\n", i);
count++;
flag[i] = 0;
num = 0;
}
if(count == n - 1) {
break;
}
}

}
}

for(i = 1; i <= n; i++) {
if(1 == flag[i]) {
printf("The last one is : %d\n", i);
}
}

return 0;
}

这就是等价转换复杂问题的经典例子

解法(From Net)：

思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k –> 0

k+1 –> 1

k+2 –> 2

…

…

k-2 –> n-2

k-1 –> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i;? (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

*/

#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s = 0;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (i = 2; i <= n; i++)
{
s = (s + m) % i;
}
printf ("%d\n", s+1);
}

等价转换复杂问题

约瑟夫环问题的非链表解法及简便解法：http://blog.csdn.net/wdays83892469/article/details/78991195

末尾0的个数http://mp.blog.csdn.net/mdeditor/index/79117995

算存水量：http://mp.blog.csdn.net/mdeditor/index/78991195