整数划分
2018-01-18 14:59
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若有n=m1+m2+…+mi;(其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,…,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
根据n和m的关系,考虑以下几种情况:
当n=1或m=1时显然f(n,m)=1
当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:
1). 划分中包含n的情况,只有一种情况即为{n};
2). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。
因此总个数为两种情况之和 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
当n < m时,显然f(n,m)=f(n,n),因为m有效值最大为n。
但n > m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况:
1). 划分中包含m的情况则在m1、m2、…、mi中去掉m后的和应为n-m且去掉后显然数列中所有数都没有m大,因此这种情况下的个数为f(n-m,m)。
2). 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,且都为整数则这种情况下的个数等于f(n,m-1)
因此总个数为两种情况之和 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
将所有情况考虑后即可算出目标值
code:
如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,…,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
根据n和m的关系,考虑以下几种情况:
当n=1或m=1时显然f(n,m)=1
当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:
1). 划分中包含n的情况,只有一种情况即为{n};
2). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。
因此总个数为两种情况之和 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
当n < m时,显然f(n,m)=f(n,n),因为m有效值最大为n。
但n > m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况:
1). 划分中包含m的情况则在m1、m2、…、mi中去掉m后的和应为n-m且去掉后显然数列中所有数都没有m大,因此这种情况下的个数为f(n-m,m)。
2). 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,且都为整数则这种情况下的个数等于f(n,m-1)
因此总个数为两种情况之和 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
将所有情况考虑后即可算出目标值
code:
#include<cstdio> int n; int dp[105][105]; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++){ if(i==1||j==1) dp[i][j]=1; else if(i<j) dp[i][j]=dp[i][i]; else if(j<i) dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]; else if(i==j) dp[i][j]=dp[i][j-1]+1; } printf("%d",dp ); return 0; }
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