线段树，树状数组基础

线段树和树状数组基本操作
两者对比

线段树操作
单点修改

区间修改

单点查询

区间查询

组合操作

树状数组操作
单点修改

区间查询

区间修改
区间修改单点查询

区间修改区间查询

线段树和树状数组基本操作

线段树的操作有：

单点修改，logn

区间修改，logn (加lazy数组)

单点查找，logn

区间查找，logn

树状数组的操作有：

单点修改，logn

区间修改，logn

单点查询，logn

区间查询，logn

两者对比

树状数组和线段树相比，空间减少大概4倍，时间较快，代码量少。但是线段树便于理解，树状数组很巧妙.

线段树操作

单点修改

//将下标x的值修改为y
void sert(int i,int l,int r,int x,int y)
{
if(l==r){
v[i]=y;
return;
}
int mid = (l+r)>>1;
if(x<=mid) sert(i<<1,l,mid,x,y);
else sert(i<<1|1,mid+1,r,x,y);
v[i]=v[i<<1]+v[i<<1|1];
}

区间修改

void upd(int i,int l,int r,int mid)
{
v[i<<1]+=(ll)(mid-l+1)*lazy[i];
v[i<<1|1]+=(ll)(r-mid)*lazy[i];
lazy[i<<1]+=lazy[i];lazy[i<<1|1]+=lazy[i];
lazy[i]=0;
}
//将区间[L,R]的值增加x
void change(int i,int l,int r,int L,int R,int x)
{
if(l==L&&r==R){
v[i]+=(ll)x*(R-L+1);
lazy[i]+=(ll)x;
return;
}
int mid = (l+r)>>1;
if(lazy[i]) upd(i,l,r,mid);
if(R<=mid) change(i<<1,l,mid,L,R,x);
else if(L>mid) change(i<<1|1,mid+1,r,L,R,x);
else {
change(i<<1,l,mid,L,mid,x);
change(i<<1|1,mid+1,r,mid+1,R,x);
}
v[i]=v[i<<1]+v[i<<1|1];
}

单点查询

int query(int i,int l,int r,int x)
{
if(l==r)
return v[i];
int mid = (l+r)>>1;
if(x<=mid) return query(i<<1,l,mid,x);
else return query(i<<1|1,mid+1,r,x);
}

区间查询

void query(int i,int l,int r,int L,int R)
{
if(l==L&&r==R){
ans+=v[i];
return;
}
int mid = (l+r)>>1;
if(lazy[i]) upd(i,l,r,mid);//如果没有区间修改的话，这个可以去掉
if(R<=mid) query(i<<1,l,mid,L,R);
else if(L>mid) query(i<<1|1,mid+1,r,L,R);
else {
query(i<<1,l,mid,L,mid);
query(i<<1|1,mid+1,r,mid+1,R);
}
}

组合操作

线段树的单点修改区间查询，区间修改单点查询，单点修改单点查询，区间修改区间查询就是上面单个操作的组合呀，就是区间修改的时候，可能有时候lazy会打的有点麻烦。

代码比较多，一点不要手误…

树状数组操作

单点修改

这里给的是单点增加一个值，如果要改单点的值的话，那么就加上它们的差就行了

//将id位置的值，增加x
void change(int id,int x){
while(id<=n){
c[id]+=x;
id = id+lowbit(id);
}
}

区间查询

如果要查询l..r区间的和，sum[r]-sum[l-1]就行了

//查询区间1...x的和
int sum(int x){
int ans = 0;
while(x){
ans += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}

区间修改

[b]区间修改单点查询[/b]

//往上更新，然后查询的时候，往下加

//一个数组a，开始时候有n个值，然后m个操作，1 x y z表示对将a[x]...a[y]的值都增加z
//2 x 查询x点的值
int lowbit(int k){
return k&(-k);
}
void change(int k,int num)
{
if(k==0) return ;
while(k<=n)
{
c[k]+=num;
k+=lowbit(k);
}
return;

}
int Sum(int k)
{
int ans=0;
while(k>0)
{
ans+=c[k];
k-=lowbit(k);
}
return ans;
}

int main()
{
cin>>n>>m;
int t;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
change(i,a[i]);
change(i+1,-a[i]);
}
int t1,t2,t3,t4;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>t1;
if(t1==1)
{cin>>t2>>t3>>t4;Update(t2,t4);Update(t3+1,-t4);}
if(t1==2)
{cin>>t2; cout<<Sum(t2)<<endl;}
}
return 0;
}

[b]区间修改区间查询[/b]

比如要查询[l,r]的区间和

$sum[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]+delta[1]i+delta[2](i-1)+…+delat[i]

=∑a[x]+(i+1)∗∑delta[x]+∑x∗delta[x]

sum[i]:表示从1到i的区间和，delta[i]:表示i到n的增量，那么就相当于两个树状数组操作

sum[l…r]=sum[r]-sum[l-1]

using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 2e5+10;
ll sum[maxn],delta[maxn],deltai[maxn];
int n,q,x,l,r;
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void change(ll *a,int i,int x){
while(i<=n){
a[i]+=x;
i+=lowbit(i);
}
}
ll query(ll *a,int i)
{
ll ans = 0;
while(i>0){
ans+=a[i];
i-=lowbit(i);
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&x);
sum[i]=sum[i-1]+x;
}
scanf("%d",&q);
while(q--)
{
scanf("%d",&x);
if(x==1){
scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
change(delta,l,x);
change(delta,r+1,-x);
change(deltai,l,l*x);
change(deltai,r+1,-x*(r+1));
}
else {
scanf("%d %d",&l,&r);
ll sum1 = (ll)sum[r]+(ll)(r+1)*query(delta,r)-query(delta
a112
i,r);
ll sum2 = (ll)sum[l-1]+(ll)(l)*query(delta,l-1)-query(deltai,l-1);
printf("%lld\n",sum1-sum2);
}
}
return 0;
}