[NOI2014]魔法森林

题目描述

为了得到书法大家的真传，小 E 同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐 士。魔法森林可以被看成一个包含 n 个节点 m 条边的无向图，节点标号为 1,2,3,…,n，边标号为 1,2,3,…,m。初始时小 E 同学在 1 号节点，隐士则住在 n 号节点。小 E 需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪 就会对其发起攻击。幸运的是，在 1 号节点住着两种守护精灵：A 型守护精灵与 B 型守护精灵。小 E 可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小 E 带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无 向图中的每一条边 ei 包含两个权值 ai 与 bi 。若身上携带的 A 型守护精灵个数不 少于 ai ，且 B 型守护精灵个数不少于 bi ，这条边上的妖怪就不会对通过这条边 的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向 小 E 发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小 E 想要知道，要能够成功拜访到 隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为 A 型守护精灵的 个数与 B 型守护精灵的个数之和。

输入输出格式

输入格式：

输入文件的第 1 行包含两个整数 n,m，表示无向图共有 n 个节点，m 条边。 接下来 m 行，第i+ 1 行包含 4 个正整数 Xi,Yi,ai,bi，描述第i条无向边。 其中Xi与 Yi为该边两个端点的标号，ai 与 bi 的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

输出格式：

输出一行一个整数：如果小 E 可以成功拜访到隐士，输出小 E 最少需要携 带的守护精灵的总个数；如果无论如何小 E 都无法拜访到隐士，输出“-1”（不 含引号）。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17

输出样例#1： 复制

32

输入样例#2： 复制

3 1
1 2 1 1

输出样例#2： 复制

-1

说明

解释1

如果小 E 走路径 1→2→4，需要携带 19+15=34 个守护精灵； 如果小 E 走路径 1→3→4，需要携带 17+17=34 个守护精灵； 如果小 E 走路径 1→2→3→4，需要携带 19+17=36 个守护精灵； 如果小 E 走路径 1→3→2→4，需要携带 17+15=32 个守护精灵。 综上所述，小 E 最少需要携带 32 个守护精灵。

解释2

题解：

每条边有两个权值，合在一起维护十分不便，考虑将它们分开。

将所有边按权值a从小到大排序，每一次加入一条边，找一下1～n的所有路径中权值b的最大值的最小值，然后用amax+bmax更新答案。

为什么这样做是对的呢，如果bmax所在的路径并不是amax所在的路径，那么我们在放入amax之前，bmax就已经和一个比amax要小的权值更新了答案，所以更优解已经被计算在内了。

然后每次SPFA不需要memset，直接将当前加入的边的两端点入队就好。

这道题没有设计卡SPFA的数据，所以SPFA可以水过去。

//Never forget why you start
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define inf (2000000000)
using namespace std;
int n,m,ans=inf;
queue<int>mem;
struct Edge{
int from,to,dis1,dis2;
}e[100005];
struct node{
int next,to,dis1,dis2;
}edge[200005];
int head[50005],size;
void putin(int from,int to,int dis1,int dis2){
size++;
edge[size].next=head[from];
edge[size].to=to;
edge[size].dis1=dis1;
edge[size].dis2=dis2;
head[from]=size;
}
int dist[50005];
bool cmp(const Edge a,const Edge b){
return a.dis1<b.dis1;
}
int vis[50005];
void SPFA(int x,int y){
int i;
mem.push(x);mem.push(y);
vis[x]=vis[y]=1;
while(!mem.empty()){
int x=mem.front();mem.pop();
vis[x]=0;
for(i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
int y=edge[i].to;
if(dist[y]>max(dist[x],edge[i].dis2)){
dist[y]=max(dist[x],edge[i].dis2);
if(!vis[y]){
mem.push(y);
vis[y]=1;
}
}
}
}
}
int main(){
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(head,-1,sizeof(head));
for(i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d%d",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].dis1,&e[i].dis2);
sort(e+1,e+m+1,cmp);
memset(dist,127/3,sizeof(dist));
mem.push(1);dist[1]=0;vis[0]=1;
for(i=1;i<=m;i++){
putin(e[i].from,e[i].to,e[i].dis1,e[i].dis2);
putin(e[i].to,e[i].from,e[i].dis1,e[i].dis2);
SPFA(e[i].from,e[i].to);
ans=min(ans,dist
+e[i].dis1);
}
if(ans==707406379)printf("-1\n");
else printf("%d\n",ans);
return 0;
}

但是SPFA的复杂度是无法保证的，如果考场上要稳过的话就需要一个复杂度更加稳定的算法。

这题的正解是LCT，思维难度还是很高的，首先我们将边化为点，如果一条边连接x和y两个点，我们可以认为是一个点分别和x，y两点相连。这样我们就可以将权值信息放到中间那个点中。

然后还是考虑排序，先按权值a排序，从小到大加边，每次加一条边，就相当于是link一下x，再link一下y。

每次判断1和n是否联通，如果联通，就找路径上的最大值更新答案就好。

如果我们在连接的时候发现x和y是联通的，如果我们直接联通就会产生环，那么我们考虑将这个环上最大的边删掉，因为一个环上最大的边是没有存在的意义的。（当我们要经过这条最大的边的时候，我们可以从环的另外一边绕过去）

注意：我们要删掉的是这个环上最大的边，所以如果新加入的边的权值比原路径的最大值还要大，我们就没有必要加入了。（在这里被坑了好久）

//Never forget why you start
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll(x) lct[x].child[0]
#define rr(x) lct[x].child[1]
#define son(x,t) lct[x].child[t]
#define inf (2147483647)
using namespace std;
int n,m,ans=inf;
int read(){
int ans=0,f=1;char i=getchar();
while(i<'0'||i>'9'){if(i=='-')f=-1;i=getchar();}
while(i>='0'&&i<='9'){ans=ans*10+i-'0';i=getchar();}
return ans*f;
}
struct Edge{
int from,to,dis1,dis2,id;
friend bool operator < (const Edge a,const Edge b){
return a.dis1<b.dis1;
}
}e[100005];
struct LCT{
int child[2],fa,rev,x,mmax,size,pos;
bool is_root;
}lct[200005];
void push_up(int x){
lct[x].size=lct[ll(x)].size+lct[rr(x)].size+1;
int mmax=lct[x].x,pos=x;
if(lct[ll(x)].mmax>mmax)mmax=lct[ll(x)].mmax,pos=lct[ll(x)].pos;
if(lct[rr(x)].mmax>mmax)mmax=lct[rr(x)].mmax,pos=lct[rr(x)].pos;
lct[x].mmax=mmax;lct[x].pos=pos;
}
void push_rev(int x){
if(!x)return;
swap(ll(x),rr(x));
lct[x].rev^=1;
}
void push_down(int x){
if(lct[x].rev){
push_rev(ll(x));
push_rev(rr(x));
lct[x].rev^=1;
}
}
void push(int x){
if(!lct[x].is_root)push(lct[x].fa);
push_down(x);
}
int getson(int x){
return x==son(lct[x].fa,1);
}
void rotate(int x){
if(lct[x].is_root)return;
int fa=lct[x].fa,fafa=lct[fa].fa,t=getson(x);
son(fa,t)=son(x,!t);if(son(x,!t))lct[son(x,!t)].fa=fa;
lct[fa].fa=x;son(x,!t)=fa;
lct[x].fa=fafa;
if(!lct[fa].is_root)son(fafa,son(fafa,1)==fa)=x;
else lct[x].is_root=1,lct[fa].is_root=0;
push_up(fa);
push_up(x);
}
void splay(int x){
push(x);
for(int fa;!lct[x].is_root;rotate(x))
if(!lct[fa=lct[x].fa].is_root)
rotate(getson(x)==getson(fa)?fa:x);
}
void access(int x){
int y=0;
do{
splay(x);
lct[rr(x)].is_root=1;
lct[rr(x)=y].is_root=0;
push_up(x);
x=lct[y=x].fa;
}while(x);
}
void mroot(int x){
access(x);
splay(x);
push_rev(x);
}
void link(int u,int v){
mroot(u);
lct[u].fa=v;
}
void cut(int u,int v){
mroot(u);
access(v);splay(v);
lct[ll(v)].fa=lct[v].fa;
lct[ll(v)].is_root=1;
lct[v].fa=ll(v)=0;
push_up(v);
}
struct Fa{
int fa[200005],sum;
void clean(){
for(int i=1;i<=n+m;i++)
fa[i]=i;
sum=n+m;
}
int find(int x){
if(fa[x]==x)return x;
else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
int p=find(x),q=find(y);
if(p!=q){
fa[p]=q;
sum--;
}
}
bool judge(int x,int y){
int p=find(x),q=find(y);
return p==q;
}
}fa;
int ppos[200005];
int main(){
int i,j;
n=read();m=read();
fa.clean();
for(i=1;i<=n;i++){
lct[i].child[0]=lct[i].child[1]=lct[i].fa=0;
lct[i].x=lct[i].mmax=0;
lct[i].size=lct[i].is_root=1;
lct[i].pos=i;
}
for(i=1;i<=m;i++){
e[i].from=read();e[i].to=read();e[i].dis1=read();e[i].id=i;e[i].dis2=lct[i+n].x=lct[i+n].mmax=read();
lct[i+n].child[0]=lct[i+n].child[1]=lct[i+n].fa=0;
lct[i+n].size=lct[i+n].is_root=1;
lct[i+n].pos=i;
}
sort(e+1,e+m+1);
for(i=1;i<=m;i++)ppos[e[i].id]=i;
for(i=1;i<=m;i++){
bool flag=0;
int u=e[i].from,v=e[i].to;
if(u==v)continue;
if(fa.judge(u,v)){
mroot(u);
access(v);
splay(v);
if(lct[v].mmax>lct[e[i].id+n].x){
flag=1;
int pos=lct[v].pos;
cut(pos,e[ppos[pos-n]].from);
cut(pos,e[ppos[pos-n]].to);
}
}
if(flag||!fa.judge(u,v)){
link(e[i].id+n,u);
link(e[i].id+n,v);
fa.merge(u,e[i].id+n);
fa.merge(e[i].id+n,v);
}
if(fa.judge(1,n)){
mroot(1);
access(n);
splay(n);
ans=min(ans,lct
.mmax+e[i].dis1);
}
}
if(ans==inf)printf("-1\n");
else printf("%d\n",ans);
return 0;
}