Louvain 算法原理 及设计实现

模块度：

Louvain算法是一种基于图数据的社区发现算法。原始论文为：《Fast unfolding of communities in large networks》。

算法的优化目标为最大化整个数据的模块度，模块度的计算如下：



其中m为图中边的总数量，k_i表示所有指向节点i的连边权重之和，k_j同理。A_{i,j} 表示节点i，j之间的连边权重。

有一点要搞清楚，模块度的概念不是Louvain算法发明的，而Louvain算法只是一种优化关系图模块度目标的一种实现而已。

Louvain算法的两步迭代设计：

最开始，每个原始节点都看成一个独立的社区，社区内的连边权重为0.

算法扫描数据中的所有节点，针对每个节点遍历该节点的所有邻居节点，衡量把该节点加入其邻居节点所在的社区所带来的模块度的收益。并选择对应最大收益的邻居节点，加入其所在的社区。这一过程化重复进行指导每一个节点的社区归属都不在发生变化。
对步骤1中形成的社区进行折叠，把每个社区折叠成一个单点，分别计算这些新生成的“社区点”之间的连边权重，以及社区内的所有点之间的连边权重之和。用于下一轮的步骤1。

该算法的最大优势就是速度很快，步骤1的每次迭代的时间复杂度为O(N)，N为输入数据中的边的数量。步骤2 的时间复杂度为O(M + N)， M为本轮迭代中点的个数。

算法实现：

数据结构设计：

算法数据结构的设计主要有两方面的考虑：

1.  如何高效地存储图中的节点和节点之间的关系

2. 如何在设计的数据结构上高效地扫描数据、进行算法迭代。
当前一些开源的算法实现主要通过hash表或set的结构来存储节点和节点之间的关系。
主要有两个缺点：
1.  维护hash 或 集合结构本身就需要不少内存开销
2. 遍历过程中需要不断地创建、销毁、清空对应的Hash 或 Set 结构，尤其是在遍历不同的节点的邻居节点以及社区这点时。
而且，在遍历过程中，结构对元素的访问也并不是严格O(1)的。

出于以上考虑，我们设计一种更高效的数据结构来存储图中的节点和边，避开使用复杂的数据结构，且在算法迭代过程中不申请多余的空间和空间的销毁操作，具体如下：



关于节点字段的说明：

count，   社区内的节点个数

clsid，     节点归属社区的代表节点ID

next，      步骤1迭代中下一个属于同一个临时社区的节点

prev，      步骤1迭代中上一个属于同一个临时社区的节点

first，       属于同一个社区的，除代表节点外的第一个节点，该节点有步骤2 社区折叠的时候生成

kin，         稳定社区内部节点之间的互相连接权重之和

kout，       稳定社区外部，指向自己社区的权重之和

clskin，     临时社区内部节点之间的互相连接权重之和

clstot，      稳定社区所有内外部指向自己的连接权重之和

eindex，    节点邻居链表的第一个指针，该链表下的所有left，都是本节点自己
关于边数据结构的字段就顾名思义即可。

基于上述结构设计，在给定了一个M个节点，N调边的图所需的空间为：60 * M + 24 * N.
例如：给定1000万给点，2000万边的数据，则需要空间约为：10000000 * 60 + 20000000 * 24 = 1080M.且整个迭代过程中内存环境维持不变。

迭代过程：

1， 假设我们最开始有5个点，互相之间存在一定的关系（至于什么关系，先不管），如下：



2， 假设在进过了步骤1的充分迭代之后发现节点2，应该加入到节点1所在的社区（最开始每个点都是一个社区，而自己就是这个社区的代表），新的社区由节点1代表，如下：



此时节点3，4，5之间以及与节点1，2之间没有任何归属关系。

3， 此时应该执行步骤2，将节点1，2组合成的新社区进行折叠，折叠之后的社区看成一个单点，用节点1来代表，如下：



此时数据中共有4个节点（或者说4个社区），其中一个社区包含了两个节点，而社区3，4，5都只包含一个节点，即他们自己。

4， 重新执行步骤1，对社区1，3，4，5进行扫描，假设在充分迭代之后节点5，4，3分别先后都加入了节点1所在的社区，如下：



5， 进行步骤2，对新生成的社区进行折叠，新折叠而成的社区看成一个单点，由节点1代表，结构如下：



此时由于整个数据中只剩下1个社区，即由节点1代表的社区。

再进行步骤1时不会有任何一个节点的社区归属发生变化，此时也就不需要再执行步骤2，至此， 迭代结束。

代码实现及测试：

一个基于上述结构设计的代码实现参见： https://github.com/liuzhiqiangruc/dml/blob/master/cls/louvain.c
在一个实际的图（70万点，200万边）上进行测试，迭代到完全收敛所需时间为：1.77秒。
实际中往往不需要迭代到每一个点都不发生变化，或者整个图中有多少比例的节点不在发生变化就退出。