离散数学 02.03 命题公式的等价关系和蕴涵关系

§2.3命题公式的等价关系和蕴涵关系

2.3.1公式的等价

定义2.3.1.公式G，H说是等价的，记以G=H，如果G，H在其任意解释I下，其真值相同。

显然，G=H时，公式G，H等价的充要条件是公式G↔H是恒真的。

两个公式间的等价关系，有反射性，对称性和传递性。

基本等价公式：

1)(G↔H)=(G→H)∧(H→G);

2)(G→H)=(¬G∨H);

3)G∨G=G,G∧G=G;(等幂律)

4)G∨H=H∨G,G∧H=H∧G;(交换律)

5)G∨(H∨S)=(G∨H)∨S,G∧(H∧S)=(G∧H)∧S;(结合律)

6)G∨(G∧H)=G,G∧(G∨H)=G;(吸收律)

7)G∨(H∧S)=(G∨H)∧(G∨S),G∧(H∨S)=(G∧H)∨(G∧S);(分配律)

8)G∨0=G;G∧1=G;(同一律)

9)G∧0=0,G∨1=1;(零一律)

10)¬(G∨H)=¬G∧¬H,¬(G∧H)=¬G∨¬H(DeMorgan律)

定义2.3.2.设Q是逻辑运算符集合，若所有逻辑运算都能由Q中元素表示出来，而Q的任意真子集无此性质，则称Q是一个完备集。

可以证明,{¬,∧},{¬,∨}都是完备集。

定义2.3.3.设P，Q是两个命题，命题“P与Q的否定”称为P与Q的与非式，记作P↑Q。↑称为与非联结词。P↑Q为真当且仅当P，Q不同时为真。即:P↑Q=¬(P∧Q)

定义2.3.4.设P，Q是两个命题，命题“P或Q的否定”称为P与Q的或非式，记作P↓Q,↓称为或非联结词。P↓Q为真当且仅当P，Q同时为假。即:P↓Q=¬(P∨Q)。

证明{↑}是完备集。¬P=P↑PP∨Q=(P↑P)↑(Q↑Q)P∧Q=(P↑Q)↑(P↑Q)

{↓}也是完备集。

逻辑的一个重要功能是研究推理。固然，依靠等价关系可以进行推理。但是进行推理时，不必一定要依靠等价关系，只需是蕴涵关系就可以了。

例如，若三角形等腰，则两底角相等，这个三角形等腰，所以，这个三角形两个底角相等。

又如，若行列式两行成比例，则行列式值为0，这个行列式两行成比例，所以，这个行列式值为0。

上面两个例子的推理关系涵义不同，但依据的推理规则相同，推理形式为:若P则Q；P，所以Q。

推理的正确性与命题P，Q涵义无关，只决定于逻辑形式，命题逻辑中用公式表示命题，命题间演绎推理关系，反映为公式间逻辑蕴涵关系。

定义2.3.5.设G，H是两个公式。称H是G的逻辑结果(或称G蕴涵H)，当且仅当对G，H的任意解释I，如果I满足G，则I也满足H，记作G⇒H。

注意：符号⇒和符号=一样，它们都不是逻辑联结词，因此，G=H，G⇒H也都不是公式。⇒是一种部分序关系。

公式G蕴涵公式H的充要条件是：公式G→H是恒真的。

例如，(P∧Q)⇒P,(P∧Q)⇒Q

定义2.3.6.设G 1 ,⋯,G n ,H是公式。称H是G 1 ,⋯,G n 的逻辑结果(或称G 1 ,⋯,G n 共同蕴涵H)，当且仅当公式G 1 ∧⋯∧G n 蕴涵H。

公式H是G 1 ,⋯,G n 的逻辑结果的充要条件是：公式((G 1 ∧⋯∧G n )→H)是恒真的。

例如，P，P→Q共同蕴涵Q。

定理2.3.1.如果H 1 ,⋯,H m ,P共同蕴涵公式Q，则H 1 ,⋯,H m 共同蕴涵公式P→Q。

证：因为(H 1 ∧⋯∧H m ∧P)⇒Q,所以公式(H 1 ∧⋯∧H m ∧P)→Q是恒真的。利用下面的基本等价公式:P 1 →(P 2 →P 3 )=(P 1 ∧P 2 )→P 3 于是,(H 1 ∧⋯∧H m ∧P)→Q=(H 1 ∧⋯∧H m )→(P→Q)。故(H 1 ∧⋯∧H m )→(P→Q)是恒真的。所以H 1 ,⋯,H m 共同蕴涵P→Q。

例如，因为公式P→Q,Q→R,P共同蕴涵R，所以P→Q,Q→R共同蕴涵P→R。

定义2.3.7.设S是一个命题公式的集合(前提集合)。从S推出公式G的一个演绎是公式的一个有限序列：G 1 ,⋯,G k 其中，G i 或者属于S，或者属于某些G j (j<i)的逻辑结果。并且G k 就是G。我们称公式G为此演绎的逻辑结果，或称从S演绎出G。有时也记为S⇒G。

例如，设S={P∨Q,Q→R,P→M,¬M},则下面的公式序列¬M,P→M,¬P,P∨Q,Q,Q→R,R就是从S推出R的一个演绎。

从演绎的定义知，演绎中仅仅使用了蕴涵的概念，也就是说，演绎是在蕴涵概念下进行的。下面给出的定理说明，演绎也是一种蕴涵，只不过换了一种形式。

引理：设G，H 1 ，H 2 是公式。如果G蕴涵H 1 ,G蕴涵H 2 ,则G蕴涵H 1 ∧H 2 。

证明：任取G，H 1 ,H 2 的一个解释I。若I满足G，由假设知，I满足H 1 ,I满足H 2 ,故I满足H 1 ∧H 2 。由I的任意性，所以G⇒(H 1 ∧H 2 )。

定理2.3.2.设S是公式集合，G是一个公式。从S演绎出G的充要条件是G是S的逻辑结果。

证：必要性，设从S演绎出G，令G 1 ,⋯,G k 是这个演绎。对任意G i (i=1,2,⋯,k),往证G i 是S的逻辑结果。对I用归纳法。当i=1时，因G 1 ∈S,显然G 1 ∧⋯→G 1 是恒真公式，故S⇒G 1 ,即G 1 是S的逻辑结果.设i<n时，命题成立。当i=n时，若G n ∈S,则S⇒G n ,归纳法完成。若G n 是某些G j (j<n)的逻辑结果，不妨设(G j1 ∧⋯∧G jh )⇒G n (1)其中j1,⋯,jh都小于n。由归纳假设知，S⇒G jm ,m=1,⋯,h。由引理知：S⇒(G ji ,∧⋯∧G jh )(2)根据(1),(2)式即蕴涵关系的传递性，得S⇒G n ，即G n 是S得逻辑结果，归纳完成。充分性，若G是S的逻辑结果，由演绎的定义知，G是如下演绎：G 1 ,⋯,G k ,G的逻辑结果，其中G 1 ,⋯,G k 是S中所有公式

定理2.3.3.设S是前提公式集合，G，H是两个公式。如果从S∪{G}可演绎出H，则从G可演绎出G→H。

证：因为从S∪{G}可演绎出H，由定理2知，H是S∪{G}的逻辑结果。亦即(G 1 ∧⋯∧G k ∧G)⇒H其中G 1 ,⋯,G k 是S中所有公式。由定理2.3.1知：(G 1 ∧⋯∧G k )⇒(G→H)即G→H是S的逻辑结果，再由定理2.3.2知，从S可演绎出G→H。

在命题逻辑中进行演绎，要不断地使用已知的蕴涵公式，过去我们知道的基本等价式当然可以当作两个蕴涵式使用，因为G=H的充要条件是(G⇒H)和(H⇒G)，下面我们在给出一个基本蕴涵式，以便在演绎时使用。

基本蕴涵式：

1.P∧Q⇒P

2.P∧Q⇒Q

3.P⇒P∨Q

4.Q⇒P∨Q

5.¬P⇒(P→Q)

6.Q⇒(P→Q)

7.¬(P→Q)⇒P

8.¬(P→Q)⇒¬Q

9.P,Q⇒P∧Q

10.¬P,P∨Q⇒Q

11.P,P→Q⇒Q

12.¬Q,P→Q⇒¬P

13.P→Q,Q→R⇒P→Q

14.P∨Q,P→R,Q→R⇒R

至此，给出两个公式G，H，证明G蕴涵H，我们有如下五种方法:

1.真值表法；2.证G→H是恒真公式;3.利用基本等价式即蕴涵式进行推导；4.任取解释I，若I满足G,往证I满足H；5.反证法，设结论假，往证前提假。

若给出前提集合S={G 1 ,⋯,G k },公式G，证明S⇒G有如下两种方法:

1.G 1 ∧⋯∧G k ⇒G2.形式演绎法：根据一些基本等价式和基本蕴涵式，从S出发，演绎出G，在演绎过程中我们遵循以下三条规则：规则1：可随便使用前提。(根据演绎定义)规则2：可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果。(根据演绎的定义)规则3：如果需要演绎出的公式是P→Q的形式，则我们可将P作为附加前提使用，而力图去演绎出Q。(根据定理2.3.3)

例2.3.1.证明{(P∨Q),(P→R),(Q→S)}⇒S∨R

证：1.P∨Q规则12.¬P→Q规则2，根据13.Q→S规则14.¬P→S规则2，根据2，35.¬S→P规则2，根据46.P→R规则17.¬S→R规则2，根据5，68.S∨R规则2，根据7

例2.3.2.证明{P→(Q→S),¬R∨P,Q}⇒R→S

证：1.¬R∨P规则12.R规则33.P规则2，根据1，24.P→(Q→S)规则15.Q→S规则2，根据3，46.Q规则17.S规则2，根据5，68.R→S规则3，根据2，7

例2.3.3.若厂方拒绝加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过一年并且工厂经理辞职。问：如果厂方拒绝增加工资，而罢工又刚刚开始，罢工是否能停止？

令P:厂方拒绝增加工资；Q:罢工停止；R:工厂经理辞职；S:罢工超过一年。于是，G 1 :(P∧¬(R∧S))→¬QG 2 :PG 3 :¬SH:¬Q

我们要证明：H是{G 1 ,G 2 ,G 3 }逻辑结果。

1.¬S规则12.¬S∨¬R规则2，根据13.¬(R∧S)规则2，根据24.P规则15.P∧¬(R∧S)规则2，根据3，46.(P∧¬(R∧S))→¬Q规则17.¬Q规则2，根据5，6亦即，罢工不会停止。