杭二集训 质数

标签：哥德巴赫猜想

题目

质数（prime）

【题目描述】

将1~n分成尽可能少的集合，使得每个集合的元素和均为质数。

【输入数据】

一行一个正整数n。

【输出数据】

第一行一个正整数m表示最少集合数，第二行n个[1,m]中的整数，第i个整数表示i在第几个集合中。若有多种方案输出任意一种即可。若无解输出-1。

【样例输入】

8

【样例输出】

2

1 2 2 1 1 1 1 2

【数据范围】

对于30%的数据，n<=20。

对于100%的数据，n<=6000。

分析

分几种情况讨论：设m为∑i=1ni

1. m为质数，那么直接输出1

2. m为合数且为偶数，根据哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数都能表示为两个质数的和，输出2

3. m为合数且为奇数，如果m-2为质数的话，那么分为2和m-2两个质数，答案为2，

4. m为合数且为奇数，如果m-2不是质数的话，分为3和m-3，其中m-3确定为偶数，再次根据哥德巴赫猜想，可以将m-3再次划分为2组，所以答案为3

5. n==1或0，那么输出无解-1

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read()
{
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn=1e6+6;
bool is_p
4000
rime[maxn];
int prime[maxn],cnt,n,vis[maxn];
ll s;
void getprime(){
rep(i,2,maxn-6){
if(!is_prime[i])prime[++cnt]=i;
rep(j,1,cnt){
if(prime[j]*i>maxn-6)break;
is_prime[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}

bool check(ll x){
rep(i,2,trunc(sqrt(x))+1)
if(x%i==0)return 0;
return 1;
}

int main()
{
getprime();
n=read();
if(n==0||n==1){cout<<"-1\n";return 0;}
rep(i,1,n)s+=i;
//cout<<s<<endl;
if(check(s)){
cout<<'1'<<endl;
rep(i,1,n)cout<<"1 ";cout<<endl;
return 0;
}else if(s%2==0){
rep(i,1,cnt)
if(check(s-prime[i])){vis[prime[i]]=1;break;}
cout<<'2'<<endl;
rep(i,1,n)if(vis[i])cout<<"2 ";else cout<<"1 ";cout<<endl;
return 0;
}else if(check(s-2)){
cout<<'2'<<endl;vis[2]=1;
rep(i,1,n)if(vis[i])cout<<"2 ";else cout<<"1 ";cout<<endl;
return 0;
}else {
cout<<'3'<<endl;vis[3]=2;
rep(i,1,cnt){
if(prime[i]==3)continue;
if(check(s-3-prime[i])){vis[prime[i]]=1;break;}
}
rep(i,1,n)if(!vis[i])cout<<"3 ";else cout<<vis[i]<<' ';cout<<endl;
return 0;
}
}