【省选专题二】字符串 jzoj 3756【NOI2014】动物园
2018-01-15 10:38
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Description
近日,园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅,只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气,让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的,园长决定开设算法班,让动物们学习算法。
某天,园长给动物们讲解 KMP 算法。
园长:“对于一个字符串 S,它的长度为 L。我们可以在 O(L)的时间内,求出一个名为 next 的数组。有谁预习了 next 数组的含义吗?”
熊猫:“对于字符串 S 的前 i 个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作 next[i]。”
园长:“非常好!那你能举个例子吗?”
熊猫:“例 S 为 abcababc,则 next[5]=2。因为 S 的前 5 个字符为 abcab,ab既是它的后缀又是它的前缀,并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理,还可得出 next[1] = next[2] = next[3] = 0,next[4] = next[6] = 1,next[7] = 2,next[8] = 3。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后,他详细讲解了如何在 O(L)的时间内求出 next 数组。
下课前,园长提出了一个问题:“KMP 算法只能求出 next 数组。我现在希望求出一个更强大 num 数组——对于字符串 S 的前 i 个字符构成的子串,既是它的后缀同时又是它的前缀,并且该后缀与该前缀不重叠,将这种字符串的数量记作num[i]。例如 S 为 aaaaa,则 num[4] = 2。这是因为 S 的前 4 个字符为 aaaa,其中a 和 aa 都满足性质‘既是后缀又是前缀’,同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。
而 aaa 虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’,但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了,所以不能计算在内。同理,num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。 ”
最后,园长给出了奖励条件,第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话,睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了!但企鹅并不会做这道题,于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出 num 数组呢?
特别地,为了避免大量的输出,你不需要输出 num[i] 分别是多少,你只需要输出∏ (num[i] + 1) 对 1,000,000,007 取模的结果即可。
其中∏ (num[i] + 1)=1= (num[1] + 1) × (num[2] + 1) × ⋯ × (num[L] + 1)。
Input
输入的第 1 行仅包含一个正整数 n ,表示测试数据的组数。
随后 n 行,每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 S,S的定义详见题目描述。数据保证 S 中仅含小写字母。
输入中不会包含多余的空行,行末不会存在多余的空格。
Output
输出应包含 n 行,每行描述一组测试数据的答案,答案的顺序应与输入
数据的顺序保持一致。对于每组测试数据,仅需要输出一个整数,表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。
输出中不应包含多余的空行。
Sample Input
3
aaaaa
ab
abcababc
Sample Output
36
1
32
Data Constraint
所有测试点的范围和特点如下表所示
测试点编号 约定
1 n ≤ 5, L ≤ 50
2 n ≤ 5, L ≤ 200
3 n ≤ 5, L ≤ 200
4 n ≤ 5, L ≤ 10,000
5 n ≤ 5, L ≤ 10,000
6 n ≤ 5, L ≤ 100,000
7 n ≤ 5, L ≤ 200,000
8 n ≤ 5, L ≤ 500,000
9 n ≤ 5, L ≤ 1,000,000
10 n ≤ 5, L ≤ 1,000,000
分析(转载):
先用kmp求出最大匹配,顺便记下该位置的前后缀匹配个数。
求解时,对每个位置一直求next,直到满足前缀长度不超过一半。
近日,园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅,只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气,让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的,园长决定开设算法班,让动物们学习算法。
某天,园长给动物们讲解 KMP 算法。
园长:“对于一个字符串 S,它的长度为 L。我们可以在 O(L)的时间内,求出一个名为 next 的数组。有谁预习了 next 数组的含义吗?”
熊猫:“对于字符串 S 的前 i 个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作 next[i]。”
园长:“非常好!那你能举个例子吗?”
熊猫:“例 S 为 abcababc,则 next[5]=2。因为 S 的前 5 个字符为 abcab,ab既是它的后缀又是它的前缀,并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理,还可得出 next[1] = next[2] = next[3] = 0,next[4] = next[6] = 1,next[7] = 2,next[8] = 3。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后,他详细讲解了如何在 O(L)的时间内求出 next 数组。
下课前,园长提出了一个问题:“KMP 算法只能求出 next 数组。我现在希望求出一个更强大 num 数组——对于字符串 S 的前 i 个字符构成的子串,既是它的后缀同时又是它的前缀,并且该后缀与该前缀不重叠,将这种字符串的数量记作num[i]。例如 S 为 aaaaa,则 num[4] = 2。这是因为 S 的前 4 个字符为 aaaa,其中a 和 aa 都满足性质‘既是后缀又是前缀’,同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。
而 aaa 虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’,但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了,所以不能计算在内。同理,num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。 ”
最后,园长给出了奖励条件,第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话,睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了!但企鹅并不会做这道题,于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出 num 数组呢?
特别地,为了避免大量的输出,你不需要输出 num[i] 分别是多少,你只需要输出∏ (num[i] + 1) 对 1,000,000,007 取模的结果即可。
其中∏ (num[i] + 1)=1= (num[1] + 1) × (num[2] + 1) × ⋯ × (num[L] + 1)。
Input
输入的第 1 行仅包含一个正整数 n ,表示测试数据的组数。
随后 n 行,每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 S,S的定义详见题目描述。数据保证 S 中仅含小写字母。
输入中不会包含多余的空行,行末不会存在多余的空格。
Output
输出应包含 n 行,每行描述一组测试数据的答案,答案的顺序应与输入
数据的顺序保持一致。对于每组测试数据,仅需要输出一个整数,表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。
输出中不应包含多余的空行。
Sample Input
3
aaaaa
ab
abcababc
Sample Output
36
1
32
Data Constraint
所有测试点的范围和特点如下表所示
测试点编号 约定
1 n ≤ 5, L ≤ 50
2 n ≤ 5, L ≤ 200
3 n ≤ 5, L ≤ 200
4 n ≤ 5, L ≤ 10,000
5 n ≤ 5, L ≤ 10,000
6 n ≤ 5, L ≤ 100,000
7 n ≤ 5, L ≤ 200,000
8 n ≤ 5, L ≤ 500,000
9 n ≤ 5, L ≤ 1,000,000
10 n ≤ 5, L ≤ 1,000,000
分析(转载):
先用kmp求出最大匹配,顺便记下该位置的前后缀匹配个数。
求解时,对每个位置一直求next,直到满足前缀长度不超过一半。
const mo=1000000007; var n,i,j,k,ls:longint; ans:int64; s:ansistring; num,w,next:array[0..1000000]of longint; begin readln(n); for n:=1 to n do begin for i:=2 to ls do begin num[i]:=0; w[i]:=0; end; readln(s); ls:=length(s); j:=0;num[1]:=1; for i:=2 to ls do begin while (j>0) and (s[j+1]<>s[i]) do j:=next[j]; if s[j+1]=s[i] then inc(j); num[i]:=num[j]+1; end; j:=0; for i:=2 to ls do begin while (j>0) and (s[j+1]<>s[i]) do j:=next[j]; if s[j+1]=s[i] then inc(j); while j>i div 2 do j:=next[j]; w[i]:=j; end; ans:=1; for i:=1 to ls do ans:=ans*(num[w[i]]+1)mod mo; writeln(ans); end; end.
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