CodeForces 803 F.Coprime Subsequences（莫比乌斯反演+组合数学）

Description

给出一长度为n的序列ai，问该序列的子序列中有多少子序列的gcd是1

Input

第一行输入一整数n表示序列长度，之后输入n个整数ai表示该序列(1≤n,ai≤105)

Output

输出a序列的gcd为1的子序列，结果模109+7

Sample Input

3

1 2 3

Sample Output

5

Solution

用f(d)表示a子序列中gcd为d的个数，F(d)表示a子序列中gcd被d整除的个数

统计a1,a2,...,an中可以被d整除的数的个数num(d)，则F(d)=2num(d)−1

显然F(d)=∑d|nf(n)，由莫比乌斯反演，f(d)=∑d|nμ(nd)F(n)

而要求的答案即为f(1)=∑i=1mμ(i)F(i)，其中m=max(a1,a2,...,an)

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100005;
#define mod 1000000007
int phi[maxn],mu[maxn],p[maxn],f[maxn],n,num[maxn];
void init(int n=1e5)
{
mu[1]=1;
int res=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!phi[i])phi[i]=i-1,mu[i]=-1,p[res++]=i;
for(int j=0;j<res&&i*p[j]<=n;j++)
{
if(i%p[j])
{
phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
else
{
phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
mu[i*p[j]]=0;
break;
}
}
}
f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=2*f[i-1]%mod;
}
void add(int &x,int y)
{
x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int main()
{
init();
scanf("%d",&n);
int m=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int temp;
scanf("%d",&temp);
m=max(m,temp);
num[temp]++;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=2*i;j<=m;j+=i)
num[i]+=num[j];
int ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
if(mu[i]==1)add(ans,f[num[i]]-1);
else if(mu[i]==-1)add(ans,mod-(f[num[i]]-1));
printf("%d\n",ans);
return 0;
}