动态规划2-Leetcode343-integerBreak
2018-01-14 16:13
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1. 题目
将一个整数划分成若干个整数的和,使得这若干个整数乘积最大。
2. 思路
这个题可以用递归去解,因为各种划分可以表示成一棵递归树。
自顶向下的递归:
先来看一个简单的例子,当n等于4时:
可以使用动态规划解决的问题,一般都具有重叠子问题,我们只需要求出这些重叠子问题的最优解就可以了。
什么是子问题?
要求出n的integerBreak,那么只需要求出i和n-i的integerBreak,我们可以从递归树中观察到,每个节点就可以代表一个子问题,或者一个状态。
什么是重叠子问题?
我们可以从上面的递归树中看到,2被重复计算了多次,这就是重复的子问题,如果把这棵递归树画全,那么会出现更多的重叠子问题,因为有了重叠子问题,那么这些重叠的子问题我们就只需要计算一遍,一般可以通过HashMap把计算过的节点存储起来,如果检测到当前节点未被计算过在计算,否则就不计算直接返回HashMap中key对应的结果,这就叫做记忆化搜索。
子问题的最优解?
在这个题目中,最优解,就是当前划分中,乘积最大的那个。
自底向上的循环:
3. 代码
递归(穷举、暴力搜索,也就是把所有的可能的划分都遍历一遍,然后返回乘积最大的那个):
public int integerBreak(int n) {
int res = -1;
if(n == 1)
return 1;
for(int i = 1; i < n; i++){
// 子问题 及 子问题的最优解
res = max3(res,i*(n-i),i*integerBreak(n-i));
}
return res;
}
记忆化搜索:
HashMap<Integer,Integer> hm = new HashMap();
public int integerBreak(int n) {
int res = -1;
//终止条件这里可以是2
if(n == 2)
return 1;
if(!hm.containsKey(n)){
for(int i = 1; i < n; i++){
res = max3(res,i*(n-i),i*integerBreak(n-i));
hm.put(n, res);
}
}else{
return res = hm.get(n);
}
return res;
}
private int max3(int a, int b, int c) {
return Math.max(a, Math.max(b, c));
}
循环:
public int integerBreak(int n){
int[] memo = new int[n+1];
memo[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n ; i++){
for(int j = 1; j<= i-1; j++){
memo[i] = max3(memo[i],j * (i - j),j * memo[i-j]);
}
}
return memo
;
}
private int max3(int a, int b, int c) {
return Math.max(a, Math.max(b, c));
}
数学推论:
public int integerBreak(int n) {
if(n <= 3)
return n - 1;
int product = 1;
while(n > 4){
product *= 3;
n -= 3;
}
product *= n;
return product;
}
将一个整数划分成若干个整数的和,使得这若干个整数乘积最大。
2. 思路
这个题可以用递归去解,因为各种划分可以表示成一棵递归树。
自顶向下的递归:
先来看一个简单的例子,当n等于4时:
可以使用动态规划解决的问题,一般都具有重叠子问题,我们只需要求出这些重叠子问题的最优解就可以了。
什么是子问题?
要求出n的integerBreak,那么只需要求出i和n-i的integerBreak,我们可以从递归树中观察到,每个节点就可以代表一个子问题,或者一个状态。
什么是重叠子问题?
我们可以从上面的递归树中看到,2被重复计算了多次,这就是重复的子问题,如果把这棵递归树画全,那么会出现更多的重叠子问题,因为有了重叠子问题,那么这些重叠的子问题我们就只需要计算一遍,一般可以通过HashMap把计算过的节点存储起来,如果检测到当前节点未被计算过在计算,否则就不计算直接返回HashMap中key对应的结果,这就叫做记忆化搜索。
子问题的最优解?
在这个题目中,最优解,就是当前划分中,乘积最大的那个。
自底向上的循环:
3. 代码
递归(穷举、暴力搜索,也就是把所有的可能的划分都遍历一遍,然后返回乘积最大的那个):
public int integerBreak(int n) {
int res = -1;
if(n == 1)
return 1;
for(int i = 1; i < n; i++){
// 子问题 及 子问题的最优解
res = max3(res,i*(n-i),i*integerBreak(n-i));
}
return res;
}
记忆化搜索:
HashMap<Integer,Integer> hm = new HashMap();
public int integerBreak(int n) {
int res = -1;
//终止条件这里可以是2
if(n == 2)
return 1;
if(!hm.containsKey(n)){
for(int i = 1; i < n; i++){
res = max3(res,i*(n-i),i*integerBreak(n-i));
hm.put(n, res);
}
}else{
return res = hm.get(n);
}
return res;
}
private int max3(int a, int b, int c) {
return Math.max(a, Math.max(b, c));
}
循环:
public int integerBreak(int n){
int[] memo = new int[n+1];
memo[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n ; i++){
for(int j = 1; j<= i-1; j++){
memo[i] = max3(memo[i],j * (i - j),j * memo[i-j]);
}
}
return memo
;
}
private int max3(int a, int b, int c) {
return Math.max(a, Math.max(b, c));
}
数学推论:
public int integerBreak(int n) {
if(n <= 3)
return n - 1;
int product = 1;
while(n > 4){
product *= 3;
n -= 3;
}
product *= n;
return product;
}
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