计蒜客 蒜头君的购物口袋2 01背包问题

蒜头君去超市购物，他有一只容量为 V 的购物袋，同时他想买n 件物品，已知每件物品的体积
ivi​和重要度pi​。蒜头君想知道，挑选哪些物品放入购物袋中，可以使得买到的物品重要度之和最大，且物品体积和不超过购物袋的容量。

输入格式

第一行输入两个整数 VVV（1≤V≤10001
\leq V \leq 10001≤V≤1000）和nnn（1≤n≤1001
\leq n \leq 1001≤n≤100）。代表购物袋的总体积为VVV，蒜头君一共想买nnn
件物品。

接下来输入 nnn 行，每行输入两个整数
viv_ivi​
和 pip_ipi​（1≤vi,pi≤1001
\leq v_i, p_i \leq 1001≤vi​,pi​≤100），分别表示每件物品的体积和重要度。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int main(int argc, char *argv[])
{
int max2=0;
int v,n,i,j;
scanf("%d%d",&v,&n);
int dp[v+10],w[n+10],p[n+10];
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&w[i]);
scanf("%d",&p[i]);
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=v;j>=w[i];j--)
{
dp[j] = max(dp[j-w[i]]+p[i],dp[j]);
if(max2<=dp[j])
{
max2= dp[j];
}
}
}
printf("%d",max2);
return 0;
}
int max (int a,int b)
{
if(a>=b)
{
return a;
}else
{
return b;
}
}

输出一行，输出一个整数，表示蒜头君能买到物品的最大重要度之和。

样例输入

样例输入

50 4
1 5
60 99
49 8
33 7

样例输出

13

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f
是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。